Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgr1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1e 40471
 Description: A simple graph with one edge ( with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgr1e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a (𝜑𝐴𝑋)
uspgr1e.b (𝜑𝐵𝑉)
uspgr1e.c (𝜑𝐶𝑉)
uspgr1e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
usgr1e (𝜑𝐺 ∈ USGraph )

Proof of Theorem usgr1e
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgr1e.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 uspgr1e.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
3 uspgr1e.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 uspgr1e.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
5 uspgr1e.e . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
61, 2, 3, 4, 5uspgr1e 40470 . 2 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph )
7 usgr1e.e . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
8 hashprg 13043 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵𝐶 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
93, 4, 8syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
107, 9mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
11 prex 4836 . . . . 5 {𝐵, 𝐶} ∈ V
12 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐵, 𝐶}))
1312eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((#‘𝑥) = 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
1411, 13ralsn 4169 . . . 4 (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (#‘𝑥) = 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
1510, 14sylibr 223 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (#‘𝑥) = 2)
1611vgrex 25679 . . . . . 6 (𝐵𝑉𝐺 ∈ V)
17 edgaval 25794 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
183, 16, 173syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
195rneqd 5274 . . . . 5 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
20 rnsnopg 5532 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
212, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
2218, 19, 213eqtrd 2648 . . . 4 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
2322raleqdv 3121 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(#‘𝑥) = 2 ↔ ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (#‘𝑥) = 2))
2415, 23mpbird 246 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(#‘𝑥) = 2)
25 usgruspgrb 40411 . 2 (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(#‘𝑥) = 2))
266, 24, 25sylanbrc 695 1 (𝜑𝐺 ∈ USGraph )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ran crn 5039  ‘cfv 5804  2c2 10947  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792   USPGraph cuspgr 40378   USGraph cusgr 40379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381 This theorem is referenced by:  usgr1eop  40476  1egrvtxdg1  40725  1egrvtxdg0  40727
 Copyright terms: Public domain W3C validator