Theorem vdegp1bi-av 40753

Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai-av.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai-av.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai-av.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai-av.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai-av.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai-av.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi-av.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1bi-av.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1bi-av.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bi-av	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi-av

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4836	. . 3 ⊢ {𝑈, 𝑋} ∈ V
2		vdegp1ai-av.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai-av.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai-av.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 13165	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(#‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
6	5	ffund 5962	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	4, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8		vdegp1ai-av.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10		vdegp1bi-av.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11		wrdv 13175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
13		cats1un 13327	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
14	12, 13	mpan 702	. . . . 5 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
15	10, 14	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (#‘𝐼) ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (#‘𝐼) ∈ V)
18		wrdlndm 13176	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19	4, 18	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
20		vdegp1ai-av.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
22		vdegp1bi-av.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
23	20, 22	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)
24		prelpwi 4842	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25	23, 24	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
26		prid1g 4239	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
27	20, 26	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
28		vdegp1bi-av.xu	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
29	28	necomi 2836	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
30		hashprg 13043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (#‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
31	20, 22, 30	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (#‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
32	29, 31	mpbi 219	. . . . . 6 ⊢ (#‘{𝑈, 𝑋}) = 2
33	32	eqcomi 2619	. . . . 5 ⊢ 2 = (#‘{𝑈, 𝑋})
34		2re 10967	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
35	34	eqlei 10026	. . . . 5 ⊢ (2 = (#‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (#‘{𝑈, 𝑋}))
36	33, 35	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (#‘{𝑈, 𝑋}))
37	2, 3, 7, 9, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 36	p1evtxdp1 40730	. . 3 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
38	1, 37	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
39		fzofi 12635	. . . . 5 ⊢ (0..^(#‘𝐼)) ∈ Fin
40		wrddm 13167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(#‘𝐼)))
41	4, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐼 = (0..^(#‘𝐼))
42	41	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ (0..^(#‘𝐼)) = dom 𝐼
43	2, 3, 42	vtxdgfisnn0 40690	. . . . 5 ⊢ (((0..^(#‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
44	39, 20, 43	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
45	44	nn0rei 11180	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
46		1re 9918	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
47		rexadd 11937	. . 3 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
48	45, 46, 47	mp2an 704	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
49		vdegp1ai-av.d	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
50	49	oveq1i 6559	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
51	38, 48, 50	3eqtri 2636	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169   +_𝑒 cxad 11820  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-vtxdg 40682

This theorem is referenced by:  vdegp1ci-av  40754  konigsberglem1  41422  konigsberglem2  41423