Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vdegp1bi-av Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1bi-av 40753
 Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai-av.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai-av.u 𝑈𝑉
vdegp1ai-av.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai-av.w 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai-av.d ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai-av.vf (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi-av.x 𝑋𝑉
vdegp1bi-av.xu 𝑋𝑈
vdegp1bi-av.f (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1bi-av ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi-av
StepHypRef Expression
1 prex 4836 . . 3 {𝑈, 𝑋} ∈ V
2 vdegp1ai-av.vg . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 vdegp1ai-av.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 vdegp1ai-av.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
5 wrdf 13165 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(#‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
65ffund 5962 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8 vdegp1ai-av.vf . . . . 5 (Vtx‘𝐹) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10 vdegp1bi-av.f . . . . 5 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11 wrdv 13175 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 13327 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1412, 13mpan 702 . . . . 5 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1510, 14syl5eq 2656 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16 fvex 6113 . . . . 5 (#‘𝐼) ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (#‘𝐼) ∈ V)
18 wrdlndm 13176 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
194, 18mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
20 vdegp1ai-av.u . . . . 5 𝑈𝑉
2120a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈𝑉)
22 vdegp1bi-av.x . . . . . 6 𝑋𝑉
2320, 22pm3.2i 470 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑋𝑉)
24 prelpwi 4842 . . . . 5 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
2523, 24mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
26 prid1g 4239 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
2720, 26mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
28 vdegp1bi-av.xu . . . . . . . 8 𝑋𝑈
2928necomi 2836 . . . . . . 7 𝑈𝑋
30 hashprg 13043 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → (𝑈𝑋 ↔ (#‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
3120, 22, 30mp2an 704 . . . . . . 7 (𝑈𝑋 ↔ (#‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
3229, 31mpbi 219 . . . . . 6 (#‘{𝑈, 𝑋}) = 2
3332eqcomi 2619 . . . . 5 2 = (#‘{𝑈, 𝑋})
34 2re 10967 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3534eqlei 10026 . . . . 5 (2 = (#‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (#‘{𝑈, 𝑋}))
3633, 35mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (#‘{𝑈, 𝑋}))
372, 3, 7, 9, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 36p1evtxdp1 40730 . . 3 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
381, 37ax-mp 5 . 2 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
39 fzofi 12635 . . . . 5 (0..^(#‘𝐼)) ∈ Fin
40 wrddm 13167 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(#‘𝐼)))
414, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 dom 𝐼 = (0..^(#‘𝐼))
4241eqcomi 2619 . . . . . 6 (0..^(#‘𝐼)) = dom 𝐼
432, 3, 42vtxdgfisnn0 40690 . . . . 5 (((0..^(#‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
4439, 20, 43mp2an 704 . . . 4 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
4544nn0rei 11180 . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
46 1re 9918 . . 3 1 ∈ ℝ
47 rexadd 11937 . . 3 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
4845, 46, 47mp2an 704 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
49 vdegp1ai-av.d . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
5049oveq1i 6559 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
5138, 48, 503eqtri 2636 1 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0cn0 11169   +𝑒 cxad 11820  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-vtxdg 40682 This theorem is referenced by:  vdegp1ci-av  40754  konigsberglem1  41422  konigsberglem2  41423
 Copyright terms: Public domain W3C validator