Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2v2e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2e 40741
 Description: A multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2e (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph )

Proof of Theorem umgr2v2e
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9913 . . . . . . 7 0 ∈ V
2 1ex 9914 . . . . . . 7 1 ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . . . . 6 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4 prex 4836 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ∈ V
54, 4pm3.2i 470 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V)
6 0ne1 10965 . . . . . . 7 0 ≠ 1
76a1i 11 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≠ 1)
8 fprg 6327 . . . . . 6 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
93, 5, 7, 8mp3an12i 1420 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
10 dfsn2 4138 . . . . . 6 {{𝐴, 𝐵}} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
11 prelpwi 4842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
12113adant1 1072 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
13 umgr2v2evtx.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
1413umgr2v2evtx 40737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
15143ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1615pweqd 4113 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
1712, 16eleqtrrd 2691 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
1817adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
19 hashprg 13043 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2019biimpd 218 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
21203adant1 1072 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2221imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
23 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → (#‘𝑒) = (#‘{𝐴, 𝐵}))
2423eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → ((#‘𝑒) = 2 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2524elrab 3331 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2618, 22, 25sylanbrc 695 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
2726snssd 4281 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {{𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
2810, 27syl5eqssr 3613 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
299, 28fssd 5970 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
3029ffdmd 5976 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
3113umgr2v2eiedg 40739 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3231adantr 480 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3332dmeqd 5248 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3432, 33feq12d 5946 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2}))
3530, 34mpbird 246 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
36 opex 4859 . . . 4 𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ V
3713, 36eqeltri 2684 . . 3 𝐺 ∈ V
38 eqid 2610 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
39 eqid 2610 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4038, 39isumgrs 25762 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2}))
4137, 40mp1i 13 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2}))
4235, 41mpbird 246 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UMGraph cumgr 25748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-umgr 25750 This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  40742  umgr2v2evd2  40743
 Copyright terms: Public domain W3C validator