Theorem umgr2v2e 40741

Description: A multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2e	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph )

Proof of Theorem umgr2v2e

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9913	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 9914	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4		prex 4836	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
5	4, 4	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V)
6		0ne1 10965	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 ≠ 1)
8		fprg 6327	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
9	3, 5, 7, 8	mp3an12i 1420	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
10		dfsn2 4138	. . . . . 6 ⊢ {{𝐴, 𝐵}} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
11		prelpwi 4842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
12	11	3adant1 1072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
13		umgr2v2evtx.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
14	13	umgr2v2evtx 40737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
15	14	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
16	15	pweqd 4113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
17	12, 16	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
19		hashprg 13043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
20	19	biimpd 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
21	20	3adant1 1072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
22	21	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
23		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → (#‘𝑒) = (#‘{𝐴, 𝐵}))
24	23	eqeq1d 2612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → ((#‘𝑒) = 2 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
25	24	elrab 3331	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
26	18, 22, 25	sylanbrc 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
27	26	snssd 4281	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {{𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
28	10, 27	syl5eqssr 3613	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
29	9, 28	fssd 5970	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
30	29	ffdmd 5976	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
31	13	umgr2v2eiedg 40739	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
33	32	dmeqd 5248	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
34	32, 33	feq12d 5946	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2}))
35	30, 34	mpbird 246	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2})
36		opex 4859	. . . 4 ⊢ ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ V
37	13, 36	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ V
38		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
39		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
40	38, 39	isumgrs 25762	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2}))
41	37, 40	mp1i 13	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑒) = 2}))
42	35, 41	mpbird 246	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UMGraph cumgr 25748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-umgr 25750

This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  40742  umgr2v2evd2  40743