Theorem constr3lem4 26175

Description: Lemma for constr3trl 26187 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr3cycl.f	⊢ 𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p	⊢ 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})

Assertion

Ref	Expression
constr3lem4	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))

Proof of Theorem constr3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11265	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 11284	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
5		3simpa 1051	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
6		0ne1 10965	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 0 ≠ 1)
8		fnprg 5861	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1})
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1})
10		2z 11286	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		3nn0 11187	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
12	10, 11	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0))
14		pm3.22 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
15	14	3adant2 1073	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
16		2re 10967	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		2lt3 11072	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
18	16, 17	ltneii 10029	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 3
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 2 ≠ 3)
20		fnprg 5861	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 2 ≠ 3) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3})
21	13, 15, 19, 20	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3})
22		0ne2 11116	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 2
23		1ne2 11117	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
24		3ne0 10992	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
25	24	necomi 2836	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 3
26		1re 9918	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		1lt3 11073	. . . . . 6 ⊢ 1 < 3
28	26, 27	ltneii 10029	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 3
29		disjpr2 4194	. . . . 5 ⊢ (((0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) ∧ (0 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 3)) → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
30	22, 23, 25, 28, 29	mp4an 705	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
32	9, 21, 31	3jca 1235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅))
33		constr3cycl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
34	33	fveq1i 6104	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘0) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘0)
35		c0ex 9913	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
36	35	prid1 4241	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
37	36	jctr 563	. . . . . . . 8 ⊢ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1}))
38	37	3anim3i 1243	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1})))
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1})))
40		fvun1 6179	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
42	34, 41	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
43		fvpr1g 6363	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
44	1, 6, 43	mp3an13 1407	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
45	44	3ad2ant1 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
46	45	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
47	42, 46	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
48	33	fveq1i 6104	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘1) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘1)
49		1ex 9914	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
50	49	prid2 4242	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
51	50	jctr 563	. . . . . . . 8 ⊢ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1}))
52	51	3anim3i 1243	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1})))
53	52	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1})))
54		fvun1 6179	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
56	48, 55	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑃‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
57		fvpr2g 6364	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
58	26, 6, 57	mp3an13 1407	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
59	58	3ad2ant2 1076	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
60	59	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
61	56, 60	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
62	33	fveq1i 6104	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘2)
63		2ex 10969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
64	63	prid1 4241	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {2, 3}
65	64	jctr 563	. . . . . . . . 9 ⊢ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3}))
66	65	3anim3i 1243	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3})))
67	66	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3})))
68		fvun2 6180	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘2) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2))
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘2) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2))
70	62, 69	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑃‘2) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2))
71		fvpr1g 6363	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
72	10, 18, 71	mp3an13 1407	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
73	72	3ad2ant3 1077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
74	73	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
75	70, 74	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
76	33	fveq1i 6104	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘3) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘3)
77		3ex 10973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ V
78	77	prid2 4242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ {2, 3}
79	78	jctr 563	. . . . . . . . 9 ⊢ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3}))
80	79	3anim3i 1243	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3})))
81	80	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3})))
82		fvun2 6180	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘3) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3))
83	81, 82	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘3) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3))
84	76, 83	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑃‘3) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3))
85		fvpr2g 6364	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
86	11, 18, 85	mp3an13 1407	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
87	86	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
88	87	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
89	84, 88	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑃‘3) = 𝐴)
90	75, 89	jca 553	. . 3 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴))
91	47, 61, 90	jca31 555	. 2 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))
92	32, 91	mpancom 700	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ^◡ccnv 5037   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255

This theorem is referenced by:  constr3lem6  26177  constr3trllem5  26182  constr3cycllem1  26186  constr3cyclp  26190