Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr3lem4 26175
 Description: Lemma for constr3trl 26187 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
Assertion
Ref Expression
constr3lem4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))

Proof of Theorem constr3lem4
StepHypRef Expression
1 0z 11265 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 1z 11284 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
31, 2pm3.2i 470 . . . . 5 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
5 3simpa 1051 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
6 0ne1 10965 . . . . 5 0 ≠ 1
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 0 ≠ 1)
8 fnprg 5861 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1})
94, 5, 7, 8syl3anc 1318 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1})
10 2z 11286 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
11 3nn0 11187 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
1210, 11pm3.2i 470 . . . . 5 (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0)
1312a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0))
14 pm3.22 464 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐶𝑉𝐴𝑉))
15143adant2 1073 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐶𝑉𝐴𝑉))
16 2re 10967 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
17 2lt3 11072 . . . . . 6 2 < 3
1816, 17ltneii 10029 . . . . 5 2 ≠ 3
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 2 ≠ 3)
20 fnprg 5861 . . . 4 (((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (𝐶𝑉𝐴𝑉) ∧ 2 ≠ 3) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3})
2113, 15, 19, 20syl3anc 1318 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3})
22 0ne2 11116 . . . . 5 0 ≠ 2
23 1ne2 11117 . . . . 5 1 ≠ 2
24 3ne0 10992 . . . . . 6 3 ≠ 0
2524necomi 2836 . . . . 5 0 ≠ 3
26 1re 9918 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
27 1lt3 11073 . . . . . 6 1 < 3
2826, 27ltneii 10029 . . . . 5 1 ≠ 3
29 disjpr2 4194 . . . . 5 (((0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) ∧ (0 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 3)) → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
3022, 23, 25, 28, 29mp4an 705 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
3130a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
329, 21, 313jca 1235 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅))
33 constr3cycl.p . . . . . 6 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
3433fveq1i 6104 . . . . 5 (𝑃‘0) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘0)
35 c0ex 9913 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3635prid1 4241 . . . . . . . . 9 0 ∈ {0, 1}
3736jctr 563 . . . . . . . 8 (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1}))
38373anim3i 1243 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1})))
3938adantr 480 . . . . . 6 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1})))
40 fvun1 6179 . . . . . 6 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4234, 41syl5eq 2656 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
43 fvpr1g 6363 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
441, 6, 43mp3an13 1407 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
45443ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
4645adantl 481 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
4742, 46eqtrd 2644 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
4833fveq1i 6104 . . . . 5 (𝑃‘1) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘1)
49 1ex 9914 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
5049prid2 4242 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1}
5150jctr 563 . . . . . . . 8 (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1}))
52513anim3i 1243 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1})))
5352adantr 480 . . . . . 6 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1})))
54 fvun1 6179 . . . . . 6 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
5553, 54syl 17 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
5648, 55syl5eq 2656 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
57 fvpr2g 6364 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
5826, 6, 57mp3an13 1407 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
59583ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
6059adantl 481 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
6156, 60eqtrd 2644 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
6233fveq1i 6104 . . . . . 6 (𝑃‘2) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘2)
63 2ex 10969 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
6463prid1 4241 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {2, 3}
6564jctr 563 . . . . . . . . 9 (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3}))
66653anim3i 1243 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3})))
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3})))
68 fvun2 6180 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘2) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2))
6967, 68syl 17 . . . . . 6 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘2) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2))
7062, 69syl5eq 2656 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘2) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2))
71 fvpr1g 6363 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑉 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
7210, 18, 71mp3an13 1407 . . . . . . 7 (𝐶𝑉 → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
73723ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
7473adantl 481 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
7570, 74eqtrd 2644 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
7633fveq1i 6104 . . . . . 6 (𝑃‘3) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘3)
77 3ex 10973 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ V
7877prid2 4242 . . . . . . . . . 10 3 ∈ {2, 3}
7978jctr 563 . . . . . . . . 9 (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3}))
80793anim3i 1243 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3})))
8180adantr 480 . . . . . . 7 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3})))
82 fvun2 6180 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘3) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3))
8381, 82syl 17 . . . . . 6 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘3) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3))
8476, 83syl5eq 2656 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘3) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3))
85 fvpr2g 6364 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0𝐴𝑉 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
8611, 18, 85mp3an13 1407 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
87863ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
8887adantl 481 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
8984, 88eqtrd 2644 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘3) = 𝐴)
9075, 89jca 553 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴))
9147, 61, 90jca31 555 . 2 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))
9232, 91mpancom 700 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ◡ccnv 5037   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255 This theorem is referenced by:  constr3lem6  26177  constr3trllem5  26182  constr3cycllem1  26186  constr3cyclp  26190
 Copyright terms: Public domain W3C validator