Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr3lem6 26177
 Description: Lemma for constr3pthlem3 26185. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
Assertion
Ref Expression
constr3lem6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) = ∅)

Proof of Theorem constr3lem6
StepHypRef Expression
1 constr3cycl.f . . . . 5 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
2 constr3cycl.p . . . . 5 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
31, 2constr3lem4 26175 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))
4 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
54ancli 572 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
6 necom 2835 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴𝐴𝐶)
7 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐶𝐴𝐶)
87ancli 572 . . . . . . . 8 (𝐴𝐶 → (𝐴𝐶𝐴𝐶))
96, 8sylbi 206 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → (𝐴𝐶𝐴𝐶))
105, 9anim12i 588 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → ((𝐴𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐶)))
11103adant2 1073 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ((𝐴𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐶)))
12 simpl 472 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
13 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
1412, 13neeq12d 2843 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
16 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴) → (𝑃‘3) = 𝐴)
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → (𝑃‘3) = 𝐴)
1813adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
1917, 18neeq12d 2843 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
2015, 19anbi12d 743 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵)))
2112adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
22 simpl 472 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴) → (𝑃‘2) = 𝐶)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
2421, 23neeq12d 2843 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
2516, 22neeq12d 2843 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
2625adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
2724, 26anbi12d 743 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (𝐴𝐶𝐴𝐶)))
2820, 27anbi12d 743 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((𝐴𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐶))))
2911, 28syl5ibr 235 . . . 4 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
303, 29syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
3130imp 444 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
32 disjpr2 4194 . 2 ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) = ∅)
3331, 32syl 17 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255 This theorem is referenced by:  constr3pthlem3  26185
 Copyright terms: Public domain W3C validator