Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr3lem5 26176
 Description: Lemma for constr3trl 26187 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
Assertion
Ref Expression
constr3lem5 ((𝐹‘0) = (𝐸‘{𝐴, 𝐵}) ∧ (𝐹‘1) = (𝐸‘{𝐵, 𝐶}) ∧ (𝐹‘2) = (𝐸‘{𝐶, 𝐴}))

Proof of Theorem constr3lem5
StepHypRef Expression
1 0ne1 10965 . 2 0 ≠ 1
2 0ne2 11116 . 2 0 ≠ 2
3 1ne2 11117 . 2 1 ≠ 2
4 constr3cycl.f . . . . 5 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
54fveq1i 6104 . . . 4 (𝐹‘0) = ({⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}‘0)
6 c0ex 9913 . . . . . 6 0 ∈ V
7 fvex 6113 . . . . . 6 (𝐸‘{𝐴, 𝐵}) ∈ V
86, 7fvtp1 6365 . . . . 5 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) → ({⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}‘0) = (𝐸‘{𝐴, 𝐵}))
983adant3 1074 . . . 4 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}‘0) = (𝐸‘{𝐴, 𝐵}))
105, 9syl5eq 2656 . . 3 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) → (𝐹‘0) = (𝐸‘{𝐴, 𝐵}))
114fveq1i 6104 . . . 4 (𝐹‘1) = ({⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}‘1)
12 1ex 9914 . . . . . 6 1 ∈ V
13 fvex 6113 . . . . . 6 (𝐸‘{𝐵, 𝐶}) ∈ V
1412, 13fvtp2 6366 . . . . 5 ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}‘1) = (𝐸‘{𝐵, 𝐶}))
15143adant2 1073 . . . 4 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}‘1) = (𝐸‘{𝐵, 𝐶}))
1611, 15syl5eq 2656 . . 3 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) → (𝐹‘1) = (𝐸‘{𝐵, 𝐶}))
174fveq1i 6104 . . . 4 (𝐹‘2) = ({⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}‘2)
18 2ex 10969 . . . . . 6 2 ∈ V
19 fvex 6113 . . . . . 6 (𝐸‘{𝐶, 𝐴}) ∈ V
2018, 19fvtp3 6367 . . . . 5 ((0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}‘2) = (𝐸‘{𝐶, 𝐴}))
21203adant1 1072 . . . 4 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}‘2) = (𝐸‘{𝐶, 𝐴}))
2217, 21syl5eq 2656 . . 3 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) → (𝐹‘2) = (𝐸‘{𝐶, 𝐴}))
2310, 16, 223jca 1235 . 2 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) → ((𝐹‘0) = (𝐸‘{𝐴, 𝐵}) ∧ (𝐹‘1) = (𝐸‘{𝐵, 𝐶}) ∧ (𝐹‘2) = (𝐸‘{𝐶, 𝐴})))
241, 2, 3, 23mp3an 1416 1 ((𝐹‘0) = (𝐸‘{𝐴, 𝐵}) ∧ (𝐹‘1) = (𝐸‘{𝐵, 𝐶}) ∧ (𝐹‘2) = (𝐸‘{𝐶, 𝐴}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-2 10956 This theorem is referenced by:  constr3trllem2  26179  constr3trllem5  26182
 Copyright terms: Public domain W3C validator