Theorem constr3lem2 26174

Description: Lemma for constr3trl 26187 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr3cycl.f	⊢ 𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p	⊢ 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})

Assertion

Ref	Expression
constr3lem2	⊢ (#‘𝐹) = 3

Proof of Theorem constr3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constr3cycl.f	. 2 ⊢ 𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
2		0ne1 10965	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
3		c0ex 9913	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
4		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵}) ∈ V
5	3, 4	opth1 4870	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ = ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ → 0 = 1)
6	5	necon3i 2814	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 → ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ ≠ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ ≠ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩
8		1ne2 11117	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
9		1ex 9914	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶}) ∈ V
11	9, 10	opth1 4870	. . . . . 6 ⊢ (⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ = ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ → 1 = 2)
12	11	necon3i 2814	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 → ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ≠ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩)
13	8, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ≠ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩
14		2ne0 10990	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
15		2ex 10969	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ V
16		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴}) ∈ V
17	15, 16	opth1 4870	. . . . . 6 ⊢ (⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ = ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ → 2 = 0)
18	17	necon3i 2814	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 → ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ≠ ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩)
19	14, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ≠ ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩
20	7, 13, 19	3pm3.2i 1232	. . 3 ⊢ (⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ ≠ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ∧ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ≠ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ∧ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ≠ ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩)
21		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩} → (#‘𝐹) = (#‘{⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}))
22	21	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ (𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩} → ((#‘𝐹) = 3 ↔ (#‘{⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}) = 3))
23		opex 4859	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ ∈ V
24		opex 4859	. . . . 5 ⊢ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ∈ V
25		opex 4859	. . . . 5 ⊢ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ∈ V
26		hashtpg 13121	. . . . 5 ⊢ ((⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ∈ V) → ((⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ ≠ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ∧ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ≠ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ∧ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ≠ ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩) ↔ (#‘{⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}) = 3))
27	23, 24, 25, 26	mp3an 1416	. . . 4 ⊢ ((⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ ≠ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ∧ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ≠ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ∧ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ≠ ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩) ↔ (#‘{⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}) = 3)
28	22, 27	syl6rbbr 278	. . 3 ⊢ (𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩} → ((⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩ ≠ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ∧ ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩ ≠ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ∧ ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩ ≠ ⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩) ↔ (#‘𝐹) = 3))
29	20, 28	mpbii 222	. 2 ⊢ (𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩} → (#‘𝐹) = 3)
30	1, 29	ax-mp 5	1 ⊢ (#‘𝐹) = 3

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ^◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  constr3trllem2  26179  constr3trllem3  26180  constr3trllem4  26181  constr3trllem5  26182  constr3pthlem1  26183  constr3pthlem3  26185  constr3cycllem1  26186  constr3cycl  26189