MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem2 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem2 23532
Description: Lemma for constr3trl 23545 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem2  |-  ( # `  F )  =  3

Proof of Theorem constr3lem2
StepHypRef Expression
1 constr3cycl.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
2 0ne1 10389 . . . . 5  |-  0  =/=  1
3 c0ex 9380 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
4 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
53, 4opth1 4565 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  ->  0  =  1 )
65necon3i 2650 . . . . 5  |-  ( 0  =/=  1  ->  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
)
72, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
8 1ne2 10534 . . . . 5  |-  1  =/=  2
9 1ex 9381 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
10 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
119, 10opth1 4565 . . . . . 6  |-  ( <.
1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  ->  1  =  2 )
1211necon3i 2650 . . . . 5  |-  ( 1  =/=  2  ->  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.
)
138, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.
14 2ne0 10414 . . . . 5  |-  2  =/=  0
15 2ex 10393 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
16 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
1715, 16opth1 4565 . . . . . 6  |-  ( <.
2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  ->  2  =  0 )
1817necon3i 2650 . . . . 5  |-  ( 2  =/=  0  ->  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)
1914, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
207, 13, 193pm3.2i 1166 . . 3  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)
21 fveq2 5691 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } ) )
2221eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( ( # `  F )  =  3  <-> 
( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 ) )
23 opex 4556 . . . . 5  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V
24 opex 4556 . . . . 5  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V
25 opex 4556 . . . . 5  |-  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  e.  _V
26 hashtpg 12186 . . . . 5  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V  /\ 
<. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  e.  _V )  ->  (
( <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 ) )
2723, 24, 25, 26mp3an 1314 . . . 4  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 )
2822, 27syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  F
)  =  3 ) )
2920, 28mpbii 211 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( # `  F
)  =  3 )
301, 29ax-mp 5 1  |-  ( # `  F )  =  3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   _Vcvv 2972    u. cun 3326   {cpr 3879   {ctp 3881   <.cop 3883   `'ccnv 4839   ` cfv 5418   0cc0 9282   1c1 9283   2c2 10371   3c3 10372   #chash 12103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-hash 12104
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  23537  constr3trllem3  23538  constr3trllem4  23539  constr3trllem5  23540  constr3pthlem1  23541  constr3pthlem3  23543  constr3cycllem1  23544  constr3cycl  23547
  Copyright terms: Public domain W3C validator