MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem2 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem2 25219
Description: Lemma for constr3trl 25232 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem2  |-  ( # `  F )  =  3

Proof of Theorem constr3lem2
StepHypRef Expression
1 constr3cycl.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
2 0ne1 10677 . . . . 5  |-  0  =/=  1
3 c0ex 9636 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
4 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
53, 4opth1 4695 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  ->  0  =  1 )
65necon3i 2671 . . . . 5  |-  ( 0  =/=  1  ->  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
)
72, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
8 1ne2 10822 . . . . 5  |-  1  =/=  2
9 1ex 9637 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
10 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
119, 10opth1 4695 . . . . . 6  |-  ( <.
1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  ->  1  =  2 )
1211necon3i 2671 . . . . 5  |-  ( 1  =/=  2  ->  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.
)
138, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.
14 2ne0 10702 . . . . 5  |-  2  =/=  0
15 2ex 10681 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
16 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
1715, 16opth1 4695 . . . . . 6  |-  ( <.
2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  ->  2  =  0 )
1817necon3i 2671 . . . . 5  |-  ( 2  =/=  0  ->  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)
1914, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
207, 13, 193pm3.2i 1183 . . 3  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)
21 fveq2 5881 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } ) )
2221eqeq1d 2431 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( ( # `  F )  =  3  <-> 
( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 ) )
23 opex 4686 . . . . 5  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V
24 opex 4686 . . . . 5  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V
25 opex 4686 . . . . 5  |-  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  e.  _V
26 hashtpg 12632 . . . . 5  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V  /\ 
<. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  e.  _V )  ->  (
( <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 ) )
2723, 24, 25, 26mp3an 1360 . . . 4  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 )
2822, 27syl6rbbr 267 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  F
)  =  3 ) )
2920, 28mpbii 214 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( # `  F
)  =  3 )
301, 29ax-mp 5 1  |-  ( # `  F )  =  3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087    u. cun 3440   {cpr 4004   {ctp 4006   <.cop 4008   `'ccnv 4853   ` cfv 5601   0cc0 9538   1c1 9539   2c2 10659   3c3 10660   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  25224  constr3trllem3  25225  constr3trllem4  25226  constr3trllem5  25227  constr3pthlem1  25228  constr3pthlem3  25230  constr3cycllem1  25231  constr3cycl  25234
  Copyright terms: Public domain W3C validator