MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem2 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem2 24419
Description: Lemma for constr3trl 24432 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem2  |-  ( # `  F )  =  3

Proof of Theorem constr3lem2
StepHypRef Expression
1 constr3cycl.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
2 0ne1 10604 . . . . 5  |-  0  =/=  1
3 c0ex 9591 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
4 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
53, 4opth1 4720 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  ->  0  =  1 )
65necon3i 2707 . . . . 5  |-  ( 0  =/=  1  ->  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
)
72, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
8 1ne2 10749 . . . . 5  |-  1  =/=  2
9 1ex 9592 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
10 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
119, 10opth1 4720 . . . . . 6  |-  ( <.
1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  ->  1  =  2 )
1211necon3i 2707 . . . . 5  |-  ( 1  =/=  2  ->  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.
)
138, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.
14 2ne0 10629 . . . . 5  |-  2  =/=  0
15 2ex 10608 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
16 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
1715, 16opth1 4720 . . . . . 6  |-  ( <.
2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  ->  2  =  0 )
1817necon3i 2707 . . . . 5  |-  ( 2  =/=  0  ->  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)
1914, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
207, 13, 193pm3.2i 1174 . . 3  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)
21 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } ) )
2221eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( ( # `  F )  =  3  <-> 
( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 ) )
23 opex 4711 . . . . 5  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V
24 opex 4711 . . . . 5  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V
25 opex 4711 . . . . 5  |-  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  e.  _V
26 hashtpg 12490 . . . . 5  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V  /\ 
<. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  e.  _V )  ->  (
( <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 ) )
2723, 24, 25, 26mp3an 1324 . . . 4  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 )
2822, 27syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  F
)  =  3 ) )
2920, 28mpbii 211 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( # `  F
)  =  3 )
301, 29ax-mp 5 1  |-  ( # `  F )  =  3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    u. cun 3474   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   `'ccnv 4998   ` cfv 5588   0cc0 9493   1c1 9494   2c2 10586   3c3 10587   #chash 12374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  24424  constr3trllem3  24425  constr3trllem4  24426  constr3trllem5  24427  constr3pthlem1  24428  constr3pthlem3  24430  constr3cycllem1  24431  constr3cycl  24434
  Copyright terms: Public domain W3C validator