MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem4 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem4 24774
Description: Lemma for constr3trl 24786 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( ( P `
 0 )  =  A  /\  ( P `
 1 )  =  B )  /\  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )

Proof of Theorem constr3lem4
StepHypRef Expression
1 0z 10896 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10915 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
31, 2pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
5 3simpa 993 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )
6 0ne1 10624 . . . . 5  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
8 fnprg 5648 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
94, 5, 7, 8syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
10 2z 10917 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
11 3nn0 10834 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
1210, 11pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )
)
14 pm3.22 449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
15143adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
16 2re 10626 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
17 2lt3 10724 . . . . . 6  |-  2  <  3
1816, 17ltneii 9714 . . . . 5  |-  2  =/=  3
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  =/=  3 )
20 fnprg 5648 . . . 4  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 } )
2113, 15, 19, 20syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 } )
22 0ne2 10768 . . . . 5  |-  0  =/=  2
23 1ne2 10769 . . . . 5  |-  1  =/=  2
24 3ne0 10651 . . . . . 6  |-  3  =/=  0
2524necomi 2727 . . . . 5  |-  0  =/=  3
26 1re 9612 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
27 1lt3 10725 . . . . . 6  |-  1  <  3
2826, 27ltneii 9714 . . . . 5  |-  1  =/=  3
29 disjpr2 4094 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2
)  /\  ( 0  =/=  3  /\  1  =/=  3 ) )  -> 
( { 0 ,  1 }  i^i  {
2 ,  3 } )  =  (/) )
3022, 23, 25, 28, 29mp4an 673 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { 0 ,  1 }  i^i  {
2 ,  3 } )  =  (/) )
329, 21, 313jca 1176 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) ) )
33 constr3cycl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
3433fveq1i 5873 . . . . 5  |-  ( P `
 0 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)
35 c0ex 9607 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
3635prid1 4140 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
3736jctr 542 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) )
38373anim3i 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
40 fvun1 5944 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 ) )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 ) )
4234, 41syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  0 ) )
43 fvpr1g 6117 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
441, 6, 43mp3an13 1315 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
45443ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
4645adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
4742, 46eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  0 )  =  A )
4833fveq1i 5873 . . . . 5  |-  ( P `
 1 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)
49 1ex 9608 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
5049prid2 4141 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
5150jctr 542 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) )
52513anim3i 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
54 fvun1 5944 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 ) )
5553, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 ) )
5648, 55syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  1 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  1 ) )
57 fvpr2g 6118 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
5826, 6, 57mp3an13 1315 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
59583ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
6059adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
6156, 60eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  1 )  =  B )
6233fveq1i 5873 . . . . . 6  |-  ( P `
 2 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)
63 2ex 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  _V
6463prid1 4140 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  { 2 ,  3 }
6564jctr 542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) )
66653anim3i 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
6766adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
68 fvun2 5945 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 ) )
6967, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 ) )
7062, 69syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  2 )  =  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } `  2 ) )
71 fvpr1g 6117 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V  /\  2  =/=  3 )  -> 
( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2
)  =  C )
7210, 18, 71mp3an13 1315 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  V  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 )  =  C )
73723ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2
)  =  C )
7473adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 )  =  C )
7570, 74eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  2 )  =  C )
7633fveq1i 5873 . . . . . 6  |-  ( P `
 3 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)
77 3ex 10632 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  _V
7877prid2 4141 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  { 2 ,  3 }
7978jctr 542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) )
80793anim3i 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
8180adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
82 fvun2 5945 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 ) )
8381, 82syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 ) )
8476, 83syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  3 )  =  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } `  3 ) )
85 fvpr2g 6118 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  A  e.  V  /\  2  =/=  3 )  -> 
( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3
)  =  A )
8611, 18, 85mp3an13 1315 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 )  =  A )
87863ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3
)  =  A )
8887adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 )  =  A )
8984, 88eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  3 )  =  A )
9075, 89jca 532 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) )
9147, 61, 90jca31 534 . 2  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  A  /\  ( P ` 
1 )  =  B )  /\  ( ( P `  2 )  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )
9232, 91mpancom 669 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( ( P `
 0 )  =  A  /\  ( P `
 1 )  =  B )  /\  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    u. cun 3469    i^i cin 3470   (/)c0 3793   {cpr 4034   {ctp 4036   <.cop 4038   `'ccnv 5007    Fn wfn 5589   ` cfv 5594   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   2c2 10606   3c3 10607   NN0cn0 10816   ZZcz 10885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886
This theorem is referenced by:  constr3lem6  24776  constr3trllem5  24781  constr3cycllem1  24785  constr3cyclp  24789
  Copyright terms: Public domain W3C validator