MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem constr3lem4 25424
Description: Lemma for constr3trl 25436 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( ( P `
 0 )  =  A  /\  ( P `
 1 )  =  B )  /\  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )

Proof of Theorem constr3lem4
StepHypRef Expression
1 0z 10977 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10996 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
31, 2pm3.2i 461 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
5 3simpa 1011 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )
6 0ne1 10705 . . . . 5  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
8 fnprg 5655 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
94, 5, 7, 8syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
10 2z 10998 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
11 3nn0 10916 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
1210, 11pm3.2i 461 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )
)
14 pm3.22 455 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
15143adant2 1033 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
16 2re 10707 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
17 2lt3 10806 . . . . . 6  |-  2  <  3
1816, 17ltneii 9773 . . . . 5  |-  2  =/=  3
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  =/=  3 )
20 fnprg 5655 . . . 4  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 } )
2113, 15, 19, 20syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 } )
22 0ne2 10850 . . . . 5  |-  0  =/=  2
23 1ne2 10851 . . . . 5  |-  1  =/=  2
24 3ne0 10732 . . . . . 6  |-  3  =/=  0
2524necomi 2690 . . . . 5  |-  0  =/=  3
26 1re 9668 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
27 1lt3 10807 . . . . . 6  |-  1  <  3
2826, 27ltneii 9773 . . . . 5  |-  1  =/=  3
29 disjpr2 4046 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2
)  /\  ( 0  =/=  3  /\  1  =/=  3 ) )  -> 
( { 0 ,  1 }  i^i  {
2 ,  3 } )  =  (/) )
3022, 23, 25, 28, 29mp4an 684 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { 0 ,  1 }  i^i  {
2 ,  3 } )  =  (/) )
329, 21, 313jca 1194 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) ) )
33 constr3cycl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
3433fveq1i 5889 . . . . 5  |-  ( P `
 0 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)
35 c0ex 9663 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
3635prid1 4093 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
3736jctr 549 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) )
38373anim3i 1202 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
3938adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
40 fvun1 5959 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 ) )
4139, 40syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 ) )
4234, 41syl5eq 2508 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  0 ) )
43 fvpr1g 6133 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
441, 6, 43mp3an13 1364 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
45443ad2ant1 1035 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
4645adantl 472 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
4742, 46eqtrd 2496 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  0 )  =  A )
4833fveq1i 5889 . . . . 5  |-  ( P `
 1 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)
49 1ex 9664 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
5049prid2 4094 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
5150jctr 549 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) )
52513anim3i 1202 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
5352adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
54 fvun1 5959 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 ) )
5553, 54syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 ) )
5648, 55syl5eq 2508 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  1 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  1 ) )
57 fvpr2g 6134 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
5826, 6, 57mp3an13 1364 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
59583ad2ant2 1036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
6059adantl 472 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
6156, 60eqtrd 2496 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  1 )  =  B )
6233fveq1i 5889 . . . . . 6  |-  ( P `
 2 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)
63 2ex 10709 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  _V
6463prid1 4093 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  { 2 ,  3 }
6564jctr 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) )
66653anim3i 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
6766adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
68 fvun2 5960 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 ) )
6967, 68syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 ) )
7062, 69syl5eq 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  2 )  =  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } `  2 ) )
71 fvpr1g 6133 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V  /\  2  =/=  3 )  -> 
( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2
)  =  C )
7210, 18, 71mp3an13 1364 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  V  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 )  =  C )
73723ad2ant3 1037 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2
)  =  C )
7473adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 )  =  C )
7570, 74eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  2 )  =  C )
7633fveq1i 5889 . . . . . 6  |-  ( P `
 3 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)
77 3ex 10713 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  _V
7877prid2 4094 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  { 2 ,  3 }
7978jctr 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) )
80793anim3i 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
8180adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
82 fvun2 5960 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 ) )
8381, 82syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 ) )
8476, 83syl5eq 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  3 )  =  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } `  3 ) )
85 fvpr2g 6134 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  A  e.  V  /\  2  =/=  3 )  -> 
( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3
)  =  A )
8611, 18, 85mp3an13 1364 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 )  =  A )
87863ad2ant1 1035 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3
)  =  A )
8887adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 )  =  A )
8984, 88eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  3 )  =  A )
9075, 89jca 539 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) )
9147, 61, 90jca31 541 . 2  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  A  /\  ( P ` 
1 )  =  B )  /\  ( ( P `  2 )  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )
9232, 91mpancom 680 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( ( P `
 0 )  =  A  /\  ( P `
 1 )  =  B )  /\  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633    u. cun 3414    i^i cin 3415   (/)c0 3743   {cpr 3982   {ctp 3984   <.cop 3986   `'ccnv 4852    Fn wfn 5596   ` cfv 5601   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   2c2 10687   3c3 10688   NN0cn0 10898   ZZcz 10966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-n0 10899  df-z 10967
This theorem is referenced by:  constr3lem6  25426  constr3trllem5  25431  constr3cycllem1  25435  constr3cyclp  25439
  Copyright terms: Public domain W3C validator