Theorem swrdccatwrd 13320

Description: Reconstruct a nonempty word from its prefix and last symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccatwrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Proof of Theorem swrdccatwrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lennncl 13180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2		fzo0end 12426	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
4		swrds1 13303	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
5	3, 4	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
6		nncn 10905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
7		1cnd 9935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	npcand 10275	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
9	8	eqcomd 2616	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
11	10	opeq2d 4347	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩ = ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
12	11	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
13		lsw 13204	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
15	14	s1eqd 13234	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
16	5, 12, 15	3eqtr4rd 2655	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩))
17	16	oveq2d 6565	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩)))
18		nnm1nn0 11211	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
19		0elfz 12305	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
21		1nn0 11185	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
23		nnnn0 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
24		nnge1 10923	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ≤ (#‘𝑊))
25		elfz2nn0 12300	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
26	22, 23, 24, 25	syl3anbrc 1239	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
27		elfz1end 12242	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
28	27	biimpi 205	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
29		fz0fzdiffz0 12317	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
30	26, 28, 29	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
31		nn0fz0 12306	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
32	31	biimpi 205	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
33	23, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
34	20, 30, 33	3jca 1235	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊))))
35	1, 34	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊))))
36		ccatswrd 13308	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
37	35, 36	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
38		swrdid 13280	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
39	38	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
40	17, 37, 39	3eqtrd 2648	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158

This theorem is referenced by:  ccats1swrdeq  13321  wrdind  13328  wrd2ind  13329  psgnunilem5  17737  wwlkextwrd  26256  iwrdsplit  29776  signsvtn0  29973  signstfveq0  29980  wwlksnextwrd  41103