Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrcnv 22665
 Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnv (𝜑 → (𝐺 = 𝐻𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,,𝑥   𝑔,𝐼,,𝑥   ,𝐺   𝜑,𝑔,,𝑥   𝑔,𝐽,,𝑥   𝑃,𝑔,,𝑥   𝑄,𝑔,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,)   𝑋(𝑥,𝑔,)

Proof of Theorem pi1xfrcnv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2 pi1xfr.q . . . 4 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3 pi1xfr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
5 pi1xfr.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 pi1xfr.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7 pi1xfr.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8 pi1xfrcnv.h . . . 4 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pi1xfrcnvlem 22664 . . 3 (𝜑𝐺𝐻)
10 fvex 6113 . . . . . . . 8 ( ≃ph𝐽) ∈ V
11 ecexg 7633 . . . . . . . 8 (( ≃ph𝐽) ∈ V → []( ≃ph𝐽) ∈ V)
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 (Base‘𝑄)) → []( ≃ph𝐽) ∈ V)
13 ecexg 7633 . . . . . . . 8 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
1410, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 (Base‘𝑄)) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
158, 12, 14fliftrel 6458 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ⊆ (V × V))
16 df-rel 5045 . . . . . 6 (Rel 𝐻𝐻 ⊆ (V × V))
1715, 16sylibr 223 . . . . 5 (𝜑 → Rel 𝐻)
18 dfrel2 5502 . . . . 5 (Rel 𝐻𝐻 = 𝐻)
1917, 18sylib 207 . . . 4 (𝜑𝐻 = 𝐻)
20 0elunit 12161 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
21 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
22 1m0e1 11008 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
2321, 22syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
2423fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
25 fvex 6113 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘1) ∈ V
2624, 7, 25fvmpt 6191 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐼‘0) = (𝐹‘1)
2827oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (𝐽 π1 (𝐼‘0)) = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
292, 28eqtr4i 2635 . . . . . . 7 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐼‘0))
30 1elunit 12162 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
31 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
3231fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − 1)))
33 1m1e0 10966 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
3433fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘(1 − 1)) = (𝐹‘0)
3532, 34syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
36 fvex 6113 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘0) ∈ V
3735, 7, 36fvmpt 6191 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐼‘1) = (𝐹‘0)
3938oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (𝐽 π1 (𝐼‘1)) = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
401, 39eqtr4i 2635 . . . . . . 7 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐼‘1))
41 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
42 eqid 2610 . . . . . . 7 ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
437pcorevcl 22633 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
446, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
4544simp1d 1066 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
46 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
4746fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐼‘(1 − 𝑦)))
4847cbvmptv 4678 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑦)))
49 eqid 2610 . . . . . . 7 ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩)
5029, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49pi1xfrcnvlem 22664 . . . . . 6 (𝜑ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ⊆ ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
51 iitopon 22490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
53 cnf2 20863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
5452, 5, 6, 53syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
5554feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑧)))
56 iirev 22536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑧) ∈ (0[,]1))
57 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (1 − 𝑧) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑧)))
5857fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (1 − 𝑧) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
59 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) ∈ V
6058, 7, 59fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 − 𝑧) ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
62 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
63 unitssre 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0[,]1) ⊆ ℝ
6463sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
6564recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℂ)
66 nncan 10189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
6762, 65, 66sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
6867fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) = (𝐹𝑧))
6961, 68eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹𝑧))
7069mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑧))
7155, 70syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))
7271oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)))
7372eceq1d 7670 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽))
7473opeq2d 4347 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
7574mpteq2dv 4673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
7675rneqd 5274 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
778, 76syl5eq 2656 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
7877cnveqd 5220 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
793a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
8079unieqd 4382 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐵 = (Base‘𝑃))
8171oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))
8281oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))))
8382eceq1d 7670 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽))
8483opeq2d 4347 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩)
8580, 84mpteq12dv 4663 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩) = (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
8685rneqd 5274 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
874, 86syl5eq 2656 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
8850, 78, 873sstr4d 3611 . . . . 5 (𝜑𝐻𝐺)
89 cnvss 5216 . . . . 5 (𝐻𝐺𝐻𝐺)
9088, 89syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻𝐺)
9119, 90eqsstr3d 3603 . . 3 (𝜑𝐻𝐺)
929, 91eqssd 3585 . 2 (𝜑𝐺 = 𝐻)
9392, 77eqtrd 2644 . . 3 (𝜑𝐺 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
9429, 40, 41, 42, 5, 45, 48pi1xfr 22663 . . 3 (𝜑 → ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
9593, 94eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
9692, 95jca 553 1 (𝜑 → (𝐺 = 𝐻𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  ran crn 5039  Rel wrel 5043  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  [cec 7627  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  [,]cicc 12049  Basecbs 15695   GrpHom cghm 17480  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  IIcii 22486   ≃phcphtpc 22576  *𝑝cpco 22608   π1 cpi1 22611 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-mulg 17364  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pco 22613  df-om1 22614  df-pi1 22616 This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  22666
 Copyright terms: Public domain W3C validator