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Theorem ipasslem10 27078
 Description: Lemma for ipassi 27080. Show the inner product associative law for the imaginary number i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem10.a 𝐴𝑋
ipasslem10.b 𝐵𝑋
ipasslem10.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipasslem10 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ipasslem10
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 27055 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ipasslem10.b . . . . . 6 𝐵𝑋
4 ax-icn 9874 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
5 ipasslem10.a . . . . . . 7 𝐴𝑋
6 ip1i.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 ip1i.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
86, 7nvscl 26865 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 4, 5, 8mp3an 1416 . . . . . 6 (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
10 ip1i.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
11 ipasslem10.6 . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
12 ip1i.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
136, 10, 7, 11, 124ipval2 26947 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))))
142, 3, 9, 13mp3an 1416 . . . . 5 (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
15 4cn 10975 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
16 negicn 10161 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
176, 12dipcl 26951 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
182, 3, 5, 17mp3an 1416 . . . . . . 7 (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
1915, 16, 18mul12i 10110 . . . . . 6 (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴))) = (-i · (4 · (𝐵𝑃𝐴)))
206, 10nvgcl 26859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
212, 3, 9, 20mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
226, 11, 2, 21nvcli 26901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
2322recni 9931 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ ℂ
2423sqcli 12806 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
25 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
266, 7nvscl 26865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
272, 25, 9, 26mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
286, 10nvgcl 26859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
292, 3, 27, 28mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
306, 11, 2, 29nvcli 26901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
3130recni 9931 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
3231sqcli 12806 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
3324, 32subcli 10236 . . . . . . . . 9 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ ℂ
346, 7nvscl 26865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
352, 4, 9, 34mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
366, 10nvgcl 26859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
372, 3, 35, 36mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
386, 11, 2, 37nvcli 26901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
3938recni 9931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
4039sqcli 12806 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
416, 7nvscl 26865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
422, 16, 9, 41mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
436, 10nvgcl 26859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
442, 3, 42, 43mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
456, 11, 2, 44nvcli 26901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
4645recni 9931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
4746sqcli 12806 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
4840, 47subcli 10236 . . . . . . . . . 10 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ ℂ
494, 48mulcli 9924 . . . . . . . . 9 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) ∈ ℂ
5033, 49addcomi 10106 . . . . . . . 8 ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
516, 10nvgcl 26859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
522, 3, 5, 51mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐺𝐴) ∈ 𝑋
536, 11, 2, 52nvcli 26901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴)) ∈ ℝ
5453recni 9931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴)) ∈ ℂ
5554sqcli 12806 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) ∈ ℂ
566, 7nvscl 26865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
572, 25, 5, 56mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
586, 10nvgcl 26859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
592, 3, 57, 58mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
606, 11, 2, 59nvcli 26901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ
6160recni 9931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℂ
6261sqcli 12806 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
6355, 62subcli 10236 . . . . . . . . . 10 (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) ∈ ℂ
646, 7nvscl 26865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
652, 16, 5, 64mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
666, 10nvgcl 26859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
672, 3, 65, 66mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
686, 11, 2, 67nvcli 26901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
6968recni 9931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))) ∈ ℂ
7069sqcli 12806 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
7124, 70subcli 10236 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)) ∈ ℂ
724, 71mulcli 9924 . . . . . . . . . 10 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) ∈ ℂ
7316, 63, 72adddii 9929 . . . . . . . . 9 (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))) = ((-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) + (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
744, 4, 53pm3.2i 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
756, 7nvsass 26867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((i · i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴)))
762, 74, 75mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴))
77 ixi 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i · i) = -1
7877oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · i)𝑆𝐴) = (-1𝑆𝐴)
7976, 78eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i𝑆(i𝑆𝐴)) = (-1𝑆𝐴)
8079oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))
8180fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))
8281oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)
834, 4mulneg1i 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-i · i) = -(i · i)
8477negeqi 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(i · i) = --1
85 negneg1e1 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 --1 = 1
8683, 84, 853eqtri 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-i · i) = 1
8786oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-i · i)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
8816, 4, 53pm3.2i 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
896, 7nvsass 26867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐴) = (-i𝑆(i𝑆𝐴)))
902, 88, 89mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-i · i)𝑆𝐴) = (-i𝑆(i𝑆𝐴))
916, 7nvsid 26866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
922, 5, 91mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1𝑆𝐴) = 𝐴
9387, 90, 923eqtr3i 2640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-i𝑆(i𝑆𝐴)) = 𝐴
9493oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺𝐴)
9594fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))
9695oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)
9782, 96oveq12i 6561 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))
9897oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)))
9963mulm1i 10354 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = -(((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))
10055, 62negsubdi2i 10246 . . . . . . . . . . . . . 14 -(((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))
10199, 100eqtr2i 2633 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)) = (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
102101oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . 12 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))) = (i · (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))))
1034, 25, 63mulassi 9928 . . . . . . . . . . . 12 ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = (i · (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))))
104102, 103eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . 11 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))) = ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
1054mulm1i 10354 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · i) = -i
10625, 4, 105mulcomli 9926 . . . . . . . . . . . 12 (i · -1) = -i
107106oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = (-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
10898, 104, 1073eqtri 2636 . . . . . . . . . 10 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
10925, 4, 53pm3.2i 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
1106, 7nvsass 26867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐴) = (-1𝑆(i𝑆𝐴)))
1112, 109, 110mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 · i)𝑆𝐴) = (-1𝑆(i𝑆𝐴))
112105oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 · i)𝑆𝐴) = (-i𝑆𝐴)
113111, 112eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1𝑆(i𝑆𝐴)) = (-i𝑆𝐴)
114113oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))
115114fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
116115oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)
117116oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))
11871mulid2i 9922 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))
119117, 118eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
12086oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . 12 ((-i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
121119, 120eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = ((-i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
12216, 4, 71mulassi 9928 . . . . . . . . . . 11 ((-i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
123121, 122eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
124108, 123oveq12i 6561 . . . . . . . . 9 ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = ((-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) + (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
12573, 124eqtr4i 2635 . . . . . . . 8 (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))) = ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
12650, 125eqtr4i 2635 . . . . . . 7 ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
1276, 10, 7, 11, 124ipval2 26947 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (4 · (𝐵𝑃𝐴)) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
1282, 3, 5, 127mp3an 1416 . . . . . . . 8 (4 · (𝐵𝑃𝐴)) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
129128oveq2i 6560 . . . . . . 7 (-i · (4 · (𝐵𝑃𝐴))) = (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
130126, 129eqtr4i 2635 . . . . . 6 ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = (-i · (4 · (𝐵𝑃𝐴)))
13119, 130eqtr4i 2635 . . . . 5 (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
13214, 131eqtr4i 2635 . . . 4 (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴)))
1336, 12dipcl 26951 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ ℂ)
1342, 3, 9, 133mp3an 1416 . . . . 5 (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ ℂ
13516, 18mulcli 9924 . . . . 5 (-i · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
136 4ne0 10994 . . . . 5 4 ≠ 0
137134, 135, 15, 136mulcani 10545 . . . 4 ((4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴))) ↔ (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) = (-i · (𝐵𝑃𝐴)))
138132, 137mpbi 219 . . 3 (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) = (-i · (𝐵𝑃𝐴))
139138fveq2i 6106 . 2 (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (∗‘(-i · (𝐵𝑃𝐴)))
1406, 12dipcj 26953 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1412, 3, 9, 140mp3an 1416 . 2 (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)
14216, 18cjmuli 13777 . . 3 (∗‘(-i · (𝐵𝑃𝐴))) = ((∗‘-i) · (∗‘(𝐵𝑃𝐴)))
14325, 4cjmuli 13777 . . . . 5 (∗‘(-1 · i)) = ((∗‘-1) · (∗‘i))
144105fveq2i 6106 . . . . 5 (∗‘(-1 · i)) = (∗‘-i)
145 neg1rr 11002 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
14625cjrebi 13762 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ ↔ (∗‘-1) = -1)
147145, 146mpbi 219 . . . . . . 7 (∗‘-1) = -1
148 cji 13747 . . . . . . 7 (∗‘i) = -i
149147, 148oveq12i 6561 . . . . . 6 ((∗‘-1) · (∗‘i)) = (-1 · -i)
150 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
151150, 4mul2negi 10357 . . . . . 6 (-1 · -i) = (1 · i)
1524mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · i) = i
153149, 151, 1523eqtri 2636 . . . . 5 ((∗‘-1) · (∗‘i)) = i
154143, 144, 1533eqtr3i 2640 . . . 4 (∗‘-i) = i
1556, 12dipcj 26953 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
1562, 3, 5, 155mp3an 1416 . . . 4 (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵)
157154, 156oveq12i 6561 . . 3 ((∗‘-i) · (∗‘(𝐵𝑃𝐴))) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
158142, 157eqtri 2632 . 2 (∗‘(-i · (𝐵𝑃𝐴))) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
159139, 141, 1583eqtr3i 2640 1 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  2c2 10947  4c4 10949  ↑cexp 12722  ∗ccj 13684  NrmCVeccnv 26823   +𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·𝑠OLD cns 26826  normCVcnmcv 26829  ·𝑖OLDcdip 26939  CPreHilOLDccphlo 27051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-dip 26940  df-ph 27052 This theorem is referenced by:  ipasslem11  27079
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