Theorem ipasslem11 27079

Description: Lemma for ipassi 27080. Show the inner product associative law for all complex numbers. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem11.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem11.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem11	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem11

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 9915	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		ax-icn 9874	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 9905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
4		mulcom 9901	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
5	2, 3, 4	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
7	6	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑦 · i)))
8	7	eqeq2d 2620	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i))))
9		recn 9905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
11	10	phnvi 27055	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
12		ipasslem11.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
13		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
14		ip1i.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
15	13, 14	nvscl 26865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
16	11, 12, 15	mp3an13 1407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18		mulcl 9899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
19	3, 2, 18	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
20	13, 14	nvscl 26865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
21	11, 12, 20	mp3an13 1407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · i) ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23		ipasslem11.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
24		ip1i.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
25		ip1i.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
26	13, 24, 14, 25, 10	ipdiri 27069	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
27	23, 26	mp3an3 1405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
28	17, 22, 27	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
29	13, 24, 14, 25, 10, 12, 23	ipasslem9 27077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
30	13, 14	nvscl 26865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
31	11, 2, 12, 30	mp3an 1416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
32	13, 24, 14, 25, 10, 31, 23	ipasslem9 27077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
33	13, 14	nvsass 26867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
34	11, 33	mpan 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
35	2, 12, 34	mp3an23 1408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
36	3, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
37	36	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38	13, 25	dipcl 26951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
39	11, 12, 23, 38	mp3an 1416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
40		mulass 9903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
41	2, 39, 40	mp3an23 1408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
43		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
44	13, 24, 14, 25, 10, 12, 23, 43	ipasslem10 27078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
45	44	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵)))
46	42, 45	syl6eqr 2662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
47	32, 37, 46	3eqtr4d 2654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)))
48	29, 47	oveqan12d 6568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
49	28, 48	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
50	13, 24, 14	nvdir 26870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
51	11, 50	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
52	12, 51	mp3an3 1405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
53	9, 19, 52	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
54	53	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
55		adddir 9910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
56	39, 55	mp3an3 1405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
57	9, 19, 56	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
58	49, 54, 57	3eqtr4d 2654	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
59		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴))
60	59	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵))
61		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
62	60, 61	eqeq12d 2625	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵))))
63	58, 62	syl5ibrcom 236	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
64	8, 63	sylbid 229	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
65	64	rexlimivv 3018	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
66	1, 65	syl 17	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  NrmCVeccnv 26823   +_𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·_𝑠OLD cns 26826  norm_CVcnmcv 26829  ·_𝑖OLDcdip 26939  CPreHil_OLDccphlo 27051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-t1 20928  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ph 27052

This theorem is referenced by:  ipassi  27080