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Theorem ipasslem10 24386
Description: Lemma for ipassi 24388. Show the inner product associative law for the imaginary number  _i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem10.a  |-  A  e.  X
ipasslem10.b  |-  B  e.  X
ipasslem10.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
ipasslem10  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )

Proof of Theorem ipasslem10
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 24363 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ipasslem10.b . . . . . 6  |-  B  e.  X
4 ax-icn 9447 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
5 ipasslem10.a . . . . . . 7  |-  A  e.  X
6 ip1i.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 ip1i.4 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
86, 7nvscl 24153 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
_i S A )  e.  X )
92, 4, 5, 8mp3an 1315 . . . . . 6  |-  ( _i S A )  e.  X
10 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
11 ipasslem10.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
12 ip1i.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
136, 10, 7, 11, 124ipval2 24250 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
142, 3, 9, 13mp3an 1315 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
15 4re 10504 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
1615recni 9504 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
17 negicn 9717 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
186, 12dipcl 24257 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
192, 3, 5, 18mp3an 1315 . . . . . . 7  |-  ( B P A )  e.  CC
2016, 17, 19mul12i 9670 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
216, 10nvgcl 24145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S A ) )  e.  X )
222, 3, 9, 21mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( _i S A ) )  e.  X
236, 11, 2, 22nvcli 24195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  RR
2423recni 9504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  CC
2524sqcli 12058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
26 neg1cn 10531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
276, 7nvscl 24153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )
282, 26, 9, 27mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  e.  X
296, 10nvgcl 24145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
302, 3, 28, 29mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
316, 11, 2, 30nvcli 24195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
3231recni 9504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
3332sqcli 12058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
3425, 33subcli 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
356, 7nvscl 24153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )
362, 4, 9, 35mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i S ( _i S A ) )  e.  X
376, 10nvgcl 24145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S ( _i S A ) ) )  e.  X )
382, 3, 36, 37mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  e.  X
396, 11, 2, 38nvcli 24195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
4039recni 9504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4140sqcli 12058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
426, 7nvscl 24153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )
432, 17, 9, 42mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X
446, 10nvgcl 24145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
452, 3, 43, 44mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
466, 11, 2, 45nvcli 24195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  RR
4746recni 9504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4847sqcli 12058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4941, 48subcli 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
504, 49mulcli 9497 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
5134, 50addcomi 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
526, 10nvgcl 24145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B G A )  e.  X )
532, 3, 5, 52mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G A )  e.  X
546, 11, 2, 53nvcli 24195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  RR
5554recni 9504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  CC
5655sqcli 12058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  e.  CC
576, 7nvscl 24153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
582, 26, 5, 57mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 S A )  e.  X
596, 10nvgcl 24145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S A ) )  e.  X
)
602, 3, 58, 59mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X
616, 11, 2, 60nvcli 24195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR
6261recni 9504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  CC
6362sqcli 12058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
6456, 63subcli 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
656, 7nvscl 24153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u _i S A )  e.  X )
662, 17, 5, 65mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S A )  e.  X
676, 10nvgcl 24145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S A ) )  e.  X
)
682, 3, 66, 67mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S A ) )  e.  X
696, 11, 2, 68nvcli 24195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  RR
7069recni 9504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  CC
7170sqcli 12058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
7225, 71subcli 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
734, 72mulcli 9497 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
7417, 64, 73adddii 9502 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( -u _i  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
754, 4, 53pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
766, 7nvsass 24155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S
( _i S A ) ) )
772, 75, 76mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S ( _i S A ) )
78 ixi 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
7978oveq1i 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S A )
8077, 79eqtr3i 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i S ( _i S A ) )  =  ( -u 1 S A )
8180oveq2i 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  =  ( B G (
-u 1 S A ) )
8281fveq2i 5797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )
8382oveq1i 6205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 )
844, 4mulneg1i 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
8578negeqi 9709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
86 negneg1e1 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u -u 1  =  1
8784, 85, 863eqtri 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
8887oveq1i 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( 1 S A )
8917, 4, 53pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
906, 7nvsass 24155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S ( _i S A ) ) )
912, 89, 90mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S
( _i S A ) )
926, 7nvsid 24154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 S A )  =  A )
932, 5, 92mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 S A )  =  A
9488, 91, 933eqtr3i 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  =  A
9594oveq2i 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  =  ( B G A )
9695fveq2i 5797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G A ) )
9796oveq1i 6205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )
9883, 97oveq12i 6207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
9998oveq2i 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )
10064mulm1i 9895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  = 
-u ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )
10156, 63negsubdi2i 9800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
102100, 101eqtr2i 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
103102oveq2i 6206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1044, 26, 64mulassi 9501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u 1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
105103, 104eqtr4i 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
1064mulm1i 9895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  x.  _i )  =  -u _i
10726, 4, 106mulcomli 9499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
108107oveq1i 6205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
10999, 105, 1083eqtri 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
11026, 4, 53pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
1116, 7nvsass 24155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u
1 S ( _i S A ) ) )
1122, 110, 111mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S ( _i S A ) )
113106oveq1i 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S A )
114112, 113eqtr3i 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  =  ( -u _i S A )
115114oveq2i 6206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  =  ( B G ( -u _i S A ) )
116115fveq2i 5797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) )
117116oveq1i 6205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )
118117oveq2i 6206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
11972mulid2i 9495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
120118, 119eqtr4i 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12187oveq1i 6205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
122120, 121eqtr4i 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12317, 4, 72mulassi 9501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
124122, 123eqtri 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
125109, 124oveq12i 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
12674, 125eqtr4i 2484 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
12751, 126eqtr4i 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1286, 10, 7, 11, 124ipval2 24250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1292, 3, 5, 128mp3an 1315 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
130129oveq2i 6206 . . . . . . 7  |-  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
131127, 130eqtr4i 2484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
13220, 131eqtr4i 2484 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
13314, 132eqtr4i 2484 . . . 4  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1346, 12dipcl 24257 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B P ( _i S A ) )  e.  CC )
1352, 3, 9, 134mp3an 1315 . . . . 5  |-  ( B P ( _i S A ) )  e.  CC
13617, 19mulcli 9497 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  ( B P A ) )  e.  CC
137 4ne0 10524 . . . . 5  |-  4  =/=  0
138135, 136, 16, 137mulcani 10081 . . . 4  |-  ( ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  <->  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
139133, 138mpbi 208 . . 3  |-  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) )
140139fveq2i 5797 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( * `  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1416, 12dipcj 24259 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( * `  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B ) )
1422, 3, 9, 141mp3an 1315 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B )
14317, 19cjmuli 12791 . . 3  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( * `  -u _i )  x.  (
* `  ( B P A ) ) )
14426, 4cjmuli 12791 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( ( * `  -u 1 )  x.  (
* `  _i )
)
145106fveq2i 5797 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( * `  -u _i )
146 neg1rr 10532 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
14726cjrebi 12776 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  <->  ( * `  -u 1 )  = 
-u 1 )
148146, 147mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( * `
 -u 1 )  = 
-u 1
149 cji 12761 . . . . . . 7  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
150148, 149oveq12i 6207 . . . . . 6  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  ( -u 1  x.  -u _i )
151 ax-1cn 9446 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
152151, 4mul2negi 9898 . . . . . 6  |-  ( -u
1  x.  -u _i )  =  ( 1  x.  _i )
1534mulid2i 9495 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
154150, 152, 1533eqtri 2485 . . . . 5  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  _i
155144, 145, 1543eqtr3i 2489 . . . 4  |-  ( * `
 -u _i )  =  _i
1566, 12dipcj 24259 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
1572, 3, 5, 156mp3an 1315 . . . 4  |-  ( * `
 ( B P A ) )  =  ( A P B )
158155, 157oveq12i 6207 . . 3  |-  ( ( * `  -u _i )  x.  ( * `  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
159143, 158eqtri 2481 . 2  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
160140, 142, 1593eqtr3i 2489 1  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   1c1 9389   _ici 9390    + caddc 9391    x. cmul 9393    - cmin 9701   -ucneg 9702   2c2 10477   4c4 10479   ^cexp 11977   *ccj 12698   NrmCVeccnv 24109   +vcpv 24110   BaseSetcba 24111   .sOLDcns 24112   normCVcnmcv 24115   .iOLDcdip 24242   CPreHil OLDccphlo 24359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-sum 13277  df-grpo 23825  df-gid 23826  df-ginv 23827  df-ablo 23916  df-vc 24071  df-nv 24117  df-va 24120  df-ba 24121  df-sm 24122  df-0v 24123  df-nmcv 24125  df-dip 24243  df-ph 24360
This theorem is referenced by:  ipasslem11  24387
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