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Theorem ipasslem10 26472
Description: Lemma for ipassi 26474. Show the inner product associative law for the imaginary number  _i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem10.a  |-  A  e.  X
ipasslem10.b  |-  B  e.  X
ipasslem10.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
ipasslem10  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )

Proof of Theorem ipasslem10
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 26449 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ipasslem10.b . . . . . 6  |-  B  e.  X
4 ax-icn 9600 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
5 ipasslem10.a . . . . . . 7  |-  A  e.  X
6 ip1i.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 ip1i.4 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
86, 7nvscl 26239 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
_i S A )  e.  X )
92, 4, 5, 8mp3an 1361 . . . . . 6  |-  ( _i S A )  e.  X
10 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
11 ipasslem10.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
12 ip1i.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
136, 10, 7, 11, 124ipval2 26336 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
142, 3, 9, 13mp3an 1361 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
15 4cn 10689 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
16 negicn 9878 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
176, 12dipcl 26343 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
182, 3, 5, 17mp3an 1361 . . . . . . 7  |-  ( B P A )  e.  CC
1915, 16, 18mul12i 9830 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
206, 10nvgcl 26231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S A ) )  e.  X )
212, 3, 9, 20mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( _i S A ) )  e.  X
226, 11, 2, 21nvcli 26281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  RR
2322recni 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  CC
2423sqcli 12356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
25 neg1cn 10715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
266, 7nvscl 26239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )
272, 25, 9, 26mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  e.  X
286, 10nvgcl 26231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
292, 3, 27, 28mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
306, 11, 2, 29nvcli 26281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
3130recni 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
3231sqcli 12356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
3324, 32subcli 9952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
346, 7nvscl 26239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )
352, 4, 9, 34mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i S ( _i S A ) )  e.  X
366, 10nvgcl 26231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S ( _i S A ) ) )  e.  X )
372, 3, 35, 36mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  e.  X
386, 11, 2, 37nvcli 26281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
3938recni 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4039sqcli 12356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
416, 7nvscl 26239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )
422, 16, 9, 41mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X
436, 10nvgcl 26231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
442, 3, 42, 43mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
456, 11, 2, 44nvcli 26281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  RR
4645recni 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4746sqcli 12356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4840, 47subcli 9952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
494, 48mulcli 9650 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
5033, 49addcomi 9826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
516, 10nvgcl 26231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B G A )  e.  X )
522, 3, 5, 51mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G A )  e.  X
536, 11, 2, 52nvcli 26281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  RR
5453recni 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  CC
5554sqcli 12356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  e.  CC
566, 7nvscl 26239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
572, 25, 5, 56mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 S A )  e.  X
586, 10nvgcl 26231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S A ) )  e.  X
)
592, 3, 57, 58mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X
606, 11, 2, 59nvcli 26281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR
6160recni 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  CC
6261sqcli 12356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
6355, 62subcli 9952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
646, 7nvscl 26239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u _i S A )  e.  X )
652, 16, 5, 64mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S A )  e.  X
666, 10nvgcl 26231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S A ) )  e.  X
)
672, 3, 65, 66mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S A ) )  e.  X
686, 11, 2, 67nvcli 26281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  RR
6968recni 9657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  CC
7069sqcli 12356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
7124, 70subcli 9952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
724, 71mulcli 9650 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
7316, 63, 72adddii 9655 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( -u _i  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
744, 4, 53pm3.2i 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
756, 7nvsass 26241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S
( _i S A ) ) )
762, 74, 75mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S ( _i S A ) )
77 ixi 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
7877oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S A )
7976, 78eqtr3i 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i S ( _i S A ) )  =  ( -u 1 S A )
8079oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  =  ( B G (
-u 1 S A ) )
8180fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )
8281oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 )
834, 4mulneg1i 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
8477negeqi 9870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
85 negneg1e1 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u -u 1  =  1
8683, 84, 853eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
8786oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( 1 S A )
8816, 4, 53pm3.2i 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
896, 7nvsass 26241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S ( _i S A ) ) )
902, 88, 89mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S
( _i S A ) )
916, 7nvsid 26240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 S A )  =  A )
922, 5, 91mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 S A )  =  A
9387, 90, 923eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  =  A
9493oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  =  ( B G A )
9594fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G A ) )
9695oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )
9782, 96oveq12i 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
9897oveq2i 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )
9963mulm1i 10065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  = 
-u ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )
10055, 62negsubdi2i 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
10199, 100eqtr2i 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
102101oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1034, 25, 63mulassi 9654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u 1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
104102, 103eqtr4i 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
1054mulm1i 10065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  x.  _i )  =  -u _i
10625, 4, 105mulcomli 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
107106oveq1i 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
10898, 104, 1073eqtri 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
10925, 4, 53pm3.2i 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
1106, 7nvsass 26241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u
1 S ( _i S A ) ) )
1112, 109, 110mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S ( _i S A ) )
112105oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S A )
113111, 112eqtr3i 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  =  ( -u _i S A )
114113oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  =  ( B G ( -u _i S A ) )
115114fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) )
116115oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )
117116oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
11871mulid2i 9648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
119117, 118eqtr4i 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12086oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
121119, 120eqtr4i 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12216, 4, 71mulassi 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
123121, 122eqtri 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
124108, 123oveq12i 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
12573, 124eqtr4i 2455 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
12650, 125eqtr4i 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1276, 10, 7, 11, 124ipval2 26336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1282, 3, 5, 127mp3an 1361 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
129128oveq2i 6314 . . . . . . 7  |-  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
130126, 129eqtr4i 2455 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
13119, 130eqtr4i 2455 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
13214, 131eqtr4i 2455 . . . 4  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1336, 12dipcl 26343 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B P ( _i S A ) )  e.  CC )
1342, 3, 9, 133mp3an 1361 . . . . 5  |-  ( B P ( _i S A ) )  e.  CC
13516, 18mulcli 9650 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  ( B P A ) )  e.  CC
136 4ne0 10708 . . . . 5  |-  4  =/=  0
137134, 135, 15, 136mulcani 10253 . . . 4  |-  ( ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  <->  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
138132, 137mpbi 212 . . 3  |-  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) )
139138fveq2i 5882 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( * `  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1406, 12dipcj 26345 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( * `  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B ) )
1412, 3, 9, 140mp3an 1361 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B )
14216, 18cjmuli 13246 . . 3  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( * `  -u _i )  x.  (
* `  ( B P A ) ) )
14325, 4cjmuli 13246 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( ( * `  -u 1 )  x.  (
* `  _i )
)
144105fveq2i 5882 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( * `  -u _i )
145 neg1rr 10716 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
14625cjrebi 13231 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  <->  ( * `  -u 1 )  = 
-u 1 )
147145, 146mpbi 212 . . . . . . 7  |-  ( * `
 -u 1 )  = 
-u 1
148 cji 13216 . . . . . . 7  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
149147, 148oveq12i 6315 . . . . . 6  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  ( -u 1  x.  -u _i )
150 ax-1cn 9599 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
151150, 4mul2negi 10068 . . . . . 6  |-  ( -u
1  x.  -u _i )  =  ( 1  x.  _i )
1524mulid2i 9648 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
153149, 151, 1523eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  _i
154143, 144, 1533eqtr3i 2460 . . . 4  |-  ( * `
 -u _i )  =  _i
1556, 12dipcj 26345 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
1562, 3, 5, 155mp3an 1361 . . . 4  |-  ( * `
 ( B P A ) )  =  ( A P B )
157154, 156oveq12i 6315 . . 3  |-  ( ( * `  -u _i )  x.  ( * `  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
158142, 157eqtri 2452 . 2  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
159139, 141, 1583eqtr3i 2460 1  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   1c1 9542   _ici 9543    + caddc 9544    x. cmul 9546    - cmin 9862   -ucneg 9863   2c2 10661   4c4 10663   ^cexp 12273   *ccj 13153   NrmCVeccnv 26195   +vcpv 26196   BaseSetcba 26197   .sOLDcns 26198   normCVcnmcv 26201   .iOLDcdip 26328   CPreHil OLDccphlo 26445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-grpo 25911  df-gid 25912  df-ginv 25913  df-ablo 26002  df-vc 26157  df-nv 26203  df-va 26206  df-ba 26207  df-sm 26208  df-0v 26209  df-nmcv 26211  df-dip 26329  df-ph 26446
This theorem is referenced by:  ipasslem11  26473
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