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Theorem ipasslem10 25623
Description: Lemma for ipassi 25625. Show the inner product associative law for the imaginary number  _i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem10.a  |-  A  e.  X
ipasslem10.b  |-  B  e.  X
ipasslem10.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
ipasslem10  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )

Proof of Theorem ipasslem10
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 25600 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ipasslem10.b . . . . . 6  |-  B  e.  X
4 ax-icn 9551 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
5 ipasslem10.a . . . . . . 7  |-  A  e.  X
6 ip1i.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 ip1i.4 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
86, 7nvscl 25390 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
_i S A )  e.  X )
92, 4, 5, 8mp3an 1323 . . . . . 6  |-  ( _i S A )  e.  X
10 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
11 ipasslem10.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
12 ip1i.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
136, 10, 7, 11, 124ipval2 25487 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
142, 3, 9, 13mp3an 1323 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
15 4cn 10616 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
16 negicn 9823 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
176, 12dipcl 25494 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
182, 3, 5, 17mp3an 1323 . . . . . . 7  |-  ( B P A )  e.  CC
1915, 16, 18mul12i 9775 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
206, 10nvgcl 25382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S A ) )  e.  X )
212, 3, 9, 20mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( _i S A ) )  e.  X
226, 11, 2, 21nvcli 25432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  RR
2322recni 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  CC
2423sqcli 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
25 neg1cn 10642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
266, 7nvscl 25390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )
272, 25, 9, 26mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  e.  X
286, 10nvgcl 25382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
292, 3, 27, 28mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
306, 11, 2, 29nvcli 25432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
3130recni 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
3231sqcli 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
3324, 32subcli 9897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
346, 7nvscl 25390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )
352, 4, 9, 34mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i S ( _i S A ) )  e.  X
366, 10nvgcl 25382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S ( _i S A ) ) )  e.  X )
372, 3, 35, 36mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  e.  X
386, 11, 2, 37nvcli 25432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
3938recni 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4039sqcli 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
416, 7nvscl 25390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )
422, 16, 9, 41mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X
436, 10nvgcl 25382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
442, 3, 42, 43mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
456, 11, 2, 44nvcli 25432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  RR
4645recni 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4746sqcli 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4840, 47subcli 9897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
494, 48mulcli 9601 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
5033, 49addcomi 9771 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
516, 10nvgcl 25382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B G A )  e.  X )
522, 3, 5, 51mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G A )  e.  X
536, 11, 2, 52nvcli 25432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  RR
5453recni 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  CC
5554sqcli 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  e.  CC
566, 7nvscl 25390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
572, 25, 5, 56mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 S A )  e.  X
586, 10nvgcl 25382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S A ) )  e.  X
)
592, 3, 57, 58mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X
606, 11, 2, 59nvcli 25432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR
6160recni 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  CC
6261sqcli 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
6355, 62subcli 9897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
646, 7nvscl 25390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u _i S A )  e.  X )
652, 16, 5, 64mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S A )  e.  X
666, 10nvgcl 25382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S A ) )  e.  X
)
672, 3, 65, 66mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S A ) )  e.  X
686, 11, 2, 67nvcli 25432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  RR
6968recni 9608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  CC
7069sqcli 12224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
7124, 70subcli 9897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
724, 71mulcli 9601 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
7316, 63, 72adddii 9606 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( -u _i  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
744, 4, 53pm3.2i 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
756, 7nvsass 25392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S
( _i S A ) ) )
762, 74, 75mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S ( _i S A ) )
77 ixi 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
7877oveq1i 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S A )
7976, 78eqtr3i 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i S ( _i S A ) )  =  ( -u 1 S A )
8079oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  =  ( B G (
-u 1 S A ) )
8180fveq2i 5856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )
8281oveq1i 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 )
834, 4mulneg1i 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
8477negeqi 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
85 negneg1e1 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u -u 1  =  1
8683, 84, 853eqtri 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
8786oveq1i 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( 1 S A )
8816, 4, 53pm3.2i 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
896, 7nvsass 25392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S ( _i S A ) ) )
902, 88, 89mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S
( _i S A ) )
916, 7nvsid 25391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 S A )  =  A )
922, 5, 91mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 S A )  =  A
9387, 90, 923eqtr3i 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  =  A
9493oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  =  ( B G A )
9594fveq2i 5856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G A ) )
9695oveq1i 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )
9782, 96oveq12i 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
9897oveq2i 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )
9963mulm1i 10004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  = 
-u ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )
10055, 62negsubdi2i 9908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
10199, 100eqtr2i 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
102101oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1034, 25, 63mulassi 9605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u 1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
104102, 103eqtr4i 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
1054mulm1i 10004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  x.  _i )  =  -u _i
10625, 4, 105mulcomli 9603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
107106oveq1i 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
10898, 104, 1073eqtri 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
10925, 4, 53pm3.2i 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
1106, 7nvsass 25392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u
1 S ( _i S A ) ) )
1112, 109, 110mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S ( _i S A ) )
112105oveq1i 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S A )
113111, 112eqtr3i 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  =  ( -u _i S A )
114113oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  =  ( B G ( -u _i S A ) )
115114fveq2i 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) )
116115oveq1i 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )
117116oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
11871mulid2i 9599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
119117, 118eqtr4i 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12086oveq1i 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
121119, 120eqtr4i 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12216, 4, 71mulassi 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
123121, 122eqtri 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
124108, 123oveq12i 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
12573, 124eqtr4i 2473 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
12650, 125eqtr4i 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1276, 10, 7, 11, 124ipval2 25487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1282, 3, 5, 127mp3an 1323 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
129128oveq2i 6289 . . . . . . 7  |-  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
130126, 129eqtr4i 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
13119, 130eqtr4i 2473 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
13214, 131eqtr4i 2473 . . . 4  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1336, 12dipcl 25494 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B P ( _i S A ) )  e.  CC )
1342, 3, 9, 133mp3an 1323 . . . . 5  |-  ( B P ( _i S A ) )  e.  CC
13516, 18mulcli 9601 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  ( B P A ) )  e.  CC
136 4ne0 10635 . . . . 5  |-  4  =/=  0
137134, 135, 15, 136mulcani 10191 . . . 4  |-  ( ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  <->  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
138132, 137mpbi 208 . . 3  |-  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) )
139138fveq2i 5856 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( * `  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1406, 12dipcj 25496 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( * `  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B ) )
1412, 3, 9, 140mp3an 1323 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B )
14216, 18cjmuli 12998 . . 3  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( * `  -u _i )  x.  (
* `  ( B P A ) ) )
14325, 4cjmuli 12998 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( ( * `  -u 1 )  x.  (
* `  _i )
)
144105fveq2i 5856 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( * `  -u _i )
145 neg1rr 10643 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
14625cjrebi 12983 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  <->  ( * `  -u 1 )  = 
-u 1 )
147145, 146mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( * `
 -u 1 )  = 
-u 1
148 cji 12968 . . . . . . 7  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
149147, 148oveq12i 6290 . . . . . 6  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  ( -u 1  x.  -u _i )
150 ax-1cn 9550 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
151150, 4mul2negi 10007 . . . . . 6  |-  ( -u
1  x.  -u _i )  =  ( 1  x.  _i )
1524mulid2i 9599 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
153149, 151, 1523eqtri 2474 . . . . 5  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  _i
154143, 144, 1533eqtr3i 2478 . . . 4  |-  ( * `
 -u _i )  =  _i
1556, 12dipcj 25496 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
1562, 3, 5, 155mp3an 1323 . . . 4  |-  ( * `
 ( B P A ) )  =  ( A P B )
157154, 156oveq12i 6290 . . 3  |-  ( ( * `  -u _i )  x.  ( * `  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
158142, 157eqtri 2470 . 2  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
159139, 141, 1583eqtr3i 2478 1  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   1c1 9493   _ici 9494    + caddc 9495    x. cmul 9497    - cmin 9807   -ucneg 9808   2c2 10588   4c4 10590   ^cexp 12142   *ccj 12905   NrmCVeccnv 25346   +vcpv 25347   BaseSetcba 25348   .sOLDcns 25349   normCVcnmcv 25352   .iOLDcdip 25479   CPreHil OLDccphlo 25596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-rp 11227  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-exp 12143  df-hash 12382  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-clim 13287  df-sum 13485  df-grpo 25062  df-gid 25063  df-ginv 25064  df-ablo 25153  df-vc 25308  df-nv 25354  df-va 25357  df-ba 25358  df-sm 25359  df-0v 25360  df-nmcv 25362  df-dip 25480  df-ph 25597
This theorem is referenced by:  ipasslem11  25624
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