Theorem fmtno5faclem2 40030

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 40032. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11190	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 11191	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11388	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 11184	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11388	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 11188	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 11185	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11388	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2610	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 11186	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 11388	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 11388	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 11388	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 11187	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 11522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 11030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 11474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 11463	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 10979	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 10104	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 4, 29, 31	decmul1 11461	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 4, 32, 31	decmul1 11461	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 10968	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addid2i 10103	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 11455	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 10975	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 11519	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 9926	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 11463	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mulid2i 9922	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 1, 40, 41	decmul1 11461	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 11031	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 11455	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 11457	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 11463	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1475  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  ;cdc 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-dec 11370

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  40032