Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5fac 40032
Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5fac (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)

Proof of Theorem fmtno5fac
StepHypRef Expression
1 4nn0 11188 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
2 2nn0 11186 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11388 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
4 8nn0 11192 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
53, 4deccl 11388 . . . . . . . . 9 428 ∈ ℕ0
65, 4deccl 11388 . . . . . . . 8 4288 ∈ ℕ0
76, 2deccl 11388 . . . . . . 7 42882 ∈ ℕ0
8 6nn0 11190 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
97, 8deccl 11388 . . . . . 6 428826 ∈ ℕ0
109, 8deccl 11388 . . . . 5 4288266 ∈ ℕ0
1110, 4deccl 11388 . . . 4 42882668 ∈ ℕ0
1211, 4deccl 11388 . . 3 428826688 ∈ ℕ0
13 0nn0 11184 . . 3 0 ∈ ℕ0
14 7nn0 11191 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
158, 14deccl 11388 . . . . . . 7 67 ∈ ℕ0
1615, 13deccl 11388 . . . . . 6 670 ∈ ℕ0
1716, 13deccl 11388 . . . . 5 6700 ∈ ℕ0
1817, 1deccl 11388 . . . 4 67004 ∈ ℕ0
19 1nn0 11185 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 11388 . . 3 670041 ∈ ℕ0
21 fmtno5faclem3 40031 . . . 4 (402025020 + 26801668) = 428826688
2221deceq1i 11380 . . 3 (402025020 + 26801668)0 = 4288266880
23 eqid 2610 . . 3 6700417 = 6700417
24 eqid 2610 . . . 4 428826688 = 428826688
25 eqid 2610 . . . 4 670041 = 670041
26 eqid 2610 . . . . 5 42882668 = 42882668
27 eqid 2610 . . . . 5 67004 = 67004
28 9nn0 11193 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
293, 28deccl 11388 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
3029, 1deccl 11388 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
3130, 28deccl 11388 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
3231, 8deccl 11388 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
33 6p1e7 11033 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
34 eqid 2610 . . . . . . 7 4288266 = 4288266
35 eqid 2610 . . . . . . 7 6700 = 6700
36 eqid 2610 . . . . . . . 8 428826 = 428826
37 eqid 2610 . . . . . . . 8 670 = 670
38 eqid 2610 . . . . . . . . 9 42882 = 42882
39 eqid 2610 . . . . . . . . 9 67 = 67
40 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 4288 = 4288
41 8p1e9 11035 . . . . . . . . . . 11 (8 + 1) = 9
42 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 428 = 428
433, 4, 41, 42decsuc 11411 . . . . . . . . . 10 (428 + 1) = 429
44 8p6e14 11492 . . . . . . . . . 10 (8 + 6) = 14
455, 4, 8, 40, 43, 1, 44decaddci 11456 . . . . . . . . 9 (4288 + 6) = 4294
46 7cn 10981 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
47 2cn 10968 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
48 7p2e9 11049 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
4946, 47, 48addcomli 10107 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
506, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49decadd 11446 . . . . . . . 8 (42882 + 67) = 42949
51 6cn 10979 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
5251addid1i 10102 . . . . . . . 8 (6 + 0) = 6
537, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52decadd 11446 . . . . . . 7 (428826 + 670) = 429496
549, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52decadd 11446 . . . . . 6 (4288266 + 6700) = 4294966
5532, 8, 33, 54decsuc 11411 . . . . 5 ((4288266 + 6700) + 1) = 4294967
56 8p4e12 11490 . . . . 5 (8 + 4) = 12
5710, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56decaddc 11448 . . . 4 (42882668 + 67004) = 42949672
5811, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41decadd 11446 . . 3 (428826688 + 670041) = 429496729
5946addid2i 10103 . . 3 (0 + 7) = 7
6012, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59decadd 11446 . 2 ((402025020 + 26801668)0 + 6700417) = 4294967297
618, 1deccl 11388 . . 3 64 ∈ ℕ0
6220, 14deccl 11388 . . 3 6700417 ∈ ℕ0
63 fmtno5faclem2 40030 . . . . . 6 (6700417 · 6) = 40202502
6463eqcomi 2619 . . . . 5 40202502 = (6700417 · 6)
65 fmtno5faclem1 40029 . . . . . 6 (6700417 · 4) = 26801668
6665eqcomi 2619 . . . . 5 26801668 = (6700417 · 4)
678, 1, 62, 64, 66decmul10add 11469 . . . 4 (6700417 · 64) = (402025020 + 26801668)
6867eqcomi 2619 . . 3 (402025020 + 26801668) = (6700417 · 64)
6962nn0cni 11181 . . . . 5 6700417 ∈ ℂ
7069mulid1i 9921 . . . 4 (6700417 · 1) = 6700417
7170eqcomi 2619 . . 3 6700417 = (6700417 · 1)
7261, 19, 62, 68, 71decmul10add 11469 . 2 (6700417 · 641) = ((402025020 + 26801668)0 + 6700417)
73 fmtno5 40007 . 2 (FermatNo‘5) = 4294967297
7460, 72, 733eqtr4ri 2643 1 (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  cdc 11369  FermatNocfmtno 39977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fmtno 39978
This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  40033
  Copyright terms: Public domain W3C validator