Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem1 29706
 Description: Lemma for carsgclctun 29710. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
fiunelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem1.1 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦)
carsgclctunlem1.2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4380 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → 𝑎 = ∅)
21ineq2d 3776 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (𝐸 𝑎) = (𝐸 ∅))
32fveq2d 6107 . . 3 (𝑎 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 ∅)))
4 esumeq1 29423 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)))
53, 4eqeq12d 2625 . 2 (𝑎 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 ∅)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦))))
6 unieq 4380 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
76ineq2d 3776 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝐸 𝑎) = (𝐸 𝑏))
87fveq2d 6107 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
9 esumeq1 29423 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)))
108, 9eqeq12d 2625 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))))
11 unieq 4380 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}))
1211ineq2d 3776 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (𝐸 𝑎) = (𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥})))
1312fveq2d 6107 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))))
14 esumeq1 29423 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)))
1513, 14eqeq12d 2625 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦))))
16 unieq 4380 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
1716ineq2d 3776 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝐸 𝑎) = (𝐸 𝐴))
1817fveq2d 6107 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
19 esumeq1 29423 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
2018, 19eqeq12d 2625 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦))))
21 carsgsiga.1 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
22 uni0 4401 . . . . . 6 ∅ = ∅
2322ineq2i 3773 . . . . 5 (𝐸 ∅) = (𝐸 ∩ ∅)
24 in0 3920 . . . . 5 (𝐸 ∩ ∅) = ∅
2523, 24eqtri 2632 . . . 4 (𝐸 ∅) = ∅
2625fveq2i 6106 . . 3 (𝑀‘(𝐸 ∅)) = (𝑀‘∅)
27 esumnul 29437 . . 3 Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)) = 0
2821, 26, 273eqtr4g 2669 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∅)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)))
29 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)))
3029eqcomd 2616 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
31 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
3231ineq2d 3776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐸𝑦) = (𝐸𝑥))
3332fveq2d 6107 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
34 simprr 792 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝑏))
35 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
37 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3938elpwincl1 28741 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
4036, 39ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘(𝐸𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
4133, 34, 40esumsn 29454 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
4241adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
4330, 42oveq12d 6567 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
44 nfv 1830 . . . . . 6 𝑦(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏)))
45 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑦𝑏
46 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑦{𝑥}
47 vex 3176 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
49 snex 4835 . . . . . . 7 {𝑥} ∈ V
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑥} ∈ V)
5134eldifbd 3553 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ¬ 𝑥𝑏)
52 disjsn 4192 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥𝑏)
5351, 52sylibr 223 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑥}) = ∅)
5435ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5537ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
5655elpwincl1 28741 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝐸𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
5754, 56ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
5835ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5937ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
6059elpwincl1 28741 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → (𝐸𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
6158, 60ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
6244, 45, 46, 48, 50, 53, 57, 61esumsplit 29442 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))))
6362adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))))
64 inass 3785 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏) = (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏))
65 indir 3834 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏) = (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏))
66 inidm 3784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏 𝑏) = 𝑏
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏 𝑏) = 𝑏)
68 incom 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏𝑥) = (𝑥 𝑏)
69 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Disj 𝑦𝐴 𝑦)
71 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
7271adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏𝐴)
7370, 72, 34disjuniel 28792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏𝑥) = ∅)
7468, 73syl5eqr 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑥 𝑏) = ∅)
7567, 74uneq12d 3730 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏)) = ( 𝑏 ∪ ∅))
76 un0 3919 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏 ∪ ∅) = 𝑏
7775, 76syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏)) = 𝑏)
7865, 77syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏) = 𝑏)
7978ineq2d 3776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏)) = (𝐸 𝑏))
8064, 79syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏) = (𝐸 𝑏))
8180fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
82 indif2 3829 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏)) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)
83 uncom 3719 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑏𝑥) = (𝑥 𝑏)
8483difeq1i 3686 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏)
85 disj3 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑏) = ∅ ↔ 𝑥 = (𝑥 𝑏))
8685biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑏) = ∅ → 𝑥 = (𝑥 𝑏))
87 difun2 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏) = (𝑥 𝑏)
8886, 87syl6reqr 2663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑏) = ∅ → ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏) = 𝑥)
8984, 88syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑏) = ∅ → (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = 𝑥)
9074, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = 𝑥)
9190ineq2d 3776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏)) = (𝐸𝑥))
9282, 91syl5eqr 2658 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏) = (𝐸𝑥))
9392fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
9481, 93oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
95 carsgval.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑂𝑉)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑂𝑉)
9735adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
9821adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
99 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
100993adant1r 1311 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
101 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
102 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
103101, 102sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
104 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
10671, 105sstrd 3578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
10796, 97, 98, 100, 103, 106fiunelcarsg 29705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
10895, 35elcarsg 29694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐴) → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))))
110107, 109mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐴) → ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒)))
111110simprd 478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐴) → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))
112111adantrr 749 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))
11338elpwincl1 28741 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∈ 𝒫 𝑂)
114 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))
115114ineq1d 3775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑒 𝑏) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏))
116115fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀‘(𝑒 𝑏)) = (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)))
117114difeq1d 3689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑒 𝑏) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))
118117fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀‘(𝑒 𝑏)) = (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)))
119116, 118oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → ((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))))
120114fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀𝑒) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
121119, 120eqeq12d 2625 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒) ↔ ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))))
122113, 121rspcdv 3285 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))))
123112, 122mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
12494, 123eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
125124adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
126 uniun 4392 . . . . . . . 8 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏 {𝑥})
127 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
128127unisn 4387 . . . . . . . . 9 {𝑥} = 𝑥
129128uneq2i 3726 . . . . . . . 8 ( 𝑏 {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
130126, 129eqtri 2632 . . . . . . 7 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
131130ineq2i 3773 . . . . . 6 (𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥})) = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))
132131fveq2i 6106 . . . . 5 (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))
133125, 132syl6reqr 2663 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
13443, 63, 1333eqtr4rd 2655 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)))
135134ex 449 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦))))
1365, 10, 15, 20, 28, 135, 101findcard2d 8087 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ cuni 4372  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  0cc0 9815  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  Σ*cesum 29416  toCaraSigaccarsg 29690 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-tsms 21740  df-trg 21773  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-ii 22488  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-esum 29417  df-carsg 29691 This theorem is referenced by:  carsggect  29707  carsgclctunlem2  29708
 Copyright terms: Public domain W3C validator