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Theorem carsgclctunlem1 28525
Description: Lemma for carsgclctun 28529. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
fiunelcarsg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fiunelcarsg.2  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
carsgclctunlem1.1  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  y
)
carsgclctunlem1.2  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  = Σ* y  e.  A
( M `  ( E  i^i  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables  a 
e  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4243 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  U. (/) )
21ineq2d 3686 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. (/) ) )
32fveq2d 5852 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( M `
 ( E  i^i  U. a ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. (/) ) ) )
4 esumeq1 28263 . . 3  |-  ( a  =  (/)  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  (/) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) )
53, 4eqeq12d 2476 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  <-> 
( M `  ( E  i^i  U. (/) ) )  = Σ* y  e.  (/) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) ) )
6 unieq 4243 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  U. a  =  U. b )
76ineq2d 3686 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. b ) )
87fveq2d 5852 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( M `  ( E  i^i  U. a ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) )
9 esumeq1 28263 . . 3  |-  ( a  =  b  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
108, 9eqeq12d 2476 . 2  |-  ( a  =  b  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  <-> 
( M `  ( E  i^i  U. b ) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) ) )
11 unieq 4243 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  U. a  =  U. ( b  u.  {
x } ) )
1211ineq2d 3686 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. (
b  u.  { x } ) ) )
1312fveq2d 5852 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( M `  ( E  i^i  U. a
) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) ) ) )
14 esumeq1 28263 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  ( b  u.  { x }
) ( M `  ( E  i^i  y
) ) )
1513, 14eqeq12d 2476 . 2  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `
 ( E  i^i  y ) )  <->  ( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  {
x } ) ) )  = Σ* y  e.  ( b  u.  { x } ) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) ) )
16 unieq 4243 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  U. a  =  U. A )
1716ineq2d 3686 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. A ) )
1817fveq2d 5852 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( M `  ( E  i^i  U. a ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) )
19 esumeq1 28263 . . 3  |-  ( a  =  A  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  A ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
2018, 19eqeq12d 2476 . 2  |-  ( a  =  A  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  <-> 
( M `  ( E  i^i  U. A ) )  = Σ* y  e.  A
( M `  ( E  i^i  y ) ) ) )
21 uni0 4262 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
2221ineq2i 3683 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  U. (/) )  =  ( E  i^i  (/) )
23 in0 3810 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  (/) )  =  (/)
2422, 23eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( E  i^i  U. (/) )  =  (/)
2524fveq2i 5851 . . . 4  |-  ( M `
 ( E  i^i  U. (/) ) )  =  ( M `  (/) )
26 carsgsiga.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2725, 26syl5eq 2507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. (/) ) )  =  0 )
28 esumnul 28277 . . 3  |- Σ* y  e.  (/) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  0
2927, 28syl6eqr 2513 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. (/) ) )  = Σ* y  e.  (/) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) )
30 inass 3694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)  i^i  U. b
)  =  ( E  i^i  ( ( U. b  u.  x )  i^i  U. b ) )
31 indir 3743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  u.  x
)  i^i  U. b
)  =  ( ( U. b  i^i  U. b )  u.  (
x  i^i  U. b
) )
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  u.  x )  i^i  U. b )  =  ( ( U. b  i^i  U. b )  u.  (
x  i^i  U. b
) ) )
33 inidm 3693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. b  i^i  U. b )  =  U. b
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  i^i  U. b )  =  U. b )
35 incom 3677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. b  i^i  x )  =  ( x  i^i  U. b )
36 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  y
)
3736adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Disj  y  e.  A  y )
38 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  b  C_  A )
3938adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  C_  A )
40 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  x  e.  ( A  \  b ) )
4140eldifad 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  x  e.  A )
4240eldifbd 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  -.  x  e.  b
)
4341, 42eldifd 3472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  x  e.  ( A  \  b ) )
4437, 39, 43disjuniel 27667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  i^i  x )  =  (/) )
4535, 44syl5eqr 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( x  i^i  U. b )  =  (/) )
4634, 45uneq12d 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  i^i  U. b )  u.  ( x  i^i  U. b ) )  =  ( U. b  u.  (/) ) )
47 un0 3809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. b  u.  (/) )  = 
U. b
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  u.  (/) )  =  U. b )
4932, 46, 483eqtrd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  u.  x )  i^i  U. b )  =  U. b )
5049ineq2d 3686 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  (
( U. b  u.  x )  i^i  U. b ) )  =  ( E  i^i  U. b ) )
5130, 50syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b )  =  ( E  i^i  U. b
) )
5251fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( M `  (
( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. b ) ) )
53 indif2 3738 . . . . . . . . 9  |-  ( E  i^i  ( ( U. b  u.  x )  \  U. b ) )  =  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x ) )  \  U. b )
54 uncom 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. b  u.  x )  =  ( x  u. 
U. b )
5554difeq1i 3604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  u.  x
)  \  U. b
)  =  ( ( x  u.  U. b
)  \  U. b
)
56 disj3 3859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  <->  x  =  ( x  \  U. b
) )
5756biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  ->  x  =  ( x  \  U. b ) )
58 difun2 3895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  u.  U. b
)  \  U. b
)  =  ( x 
\  U. b )
5957, 58syl6reqr 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  ->  (
( x  u.  U. b )  \  U. b )  =  x )
6055, 59syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  ->  (
( U. b  u.  x )  \  U. b )  =  x )
6145, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  u.  x )  \  U. b )  =  x )
6261ineq2d 3686 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  (
( U. b  u.  x )  \  U. b ) )  =  ( E  i^i  x
) )
6353, 62syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b )  =  ( E  i^i  x ) )
6463fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( M `  (
( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
6552, 64oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( ( M `
 ( E  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( E  i^i  x
) ) ) )
66 carsgval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
6766adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  O  e.  V )
68 carsgval.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
6968adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7026adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
71 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
72713adant1r 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  C_  A )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
73 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
74 ssfi 7733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  b  C_  A )  -> 
b  e.  Fin )
7573, 74sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  b  e.  Fin )
76 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
7776adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
7838, 77sstrd 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  b  C_  (toCaraSiga `  M ) )
7967, 69, 70, 72, 75, 78fiunelcarsg 28524 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )
8066, 68elcarsg 28513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U. b  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U. b  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) ) ) )
8180adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  ( U. b  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U. b  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) ) ) )
8279, 81mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  ( U. b  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) ) )
8382simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. b ) ) )  =  ( M `
 e ) )
8483adantrr 714 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `
 ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) )
85 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
8685adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  E  e.  ~P O
)
8786elpwincl1 27620 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  e.  ~P O )
88 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) )
8988ineq1d 3685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
e  i^i  U. b
)  =  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)  i^i  U. b
) )
9089fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  ( M `  ( e  i^i  U. b ) )  =  ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) )
9188difeq1d 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
e  \  U. b
)  =  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)  \  U. b
) )
9291fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  ( M `  ( e  \  U. b ) )  =  ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )
9390, 92oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
( M `  (
e  i^i  U. b
) ) +e
( M `  (
e  \  U. b
) ) )  =  ( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) ) )
9488fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  ( M `  e )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
9593, 94eqeq12d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e )  <->  ( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x ) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) ) )
9687, 95rspcdv 3210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( A. e  e. 
~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. b ) ) )  =  ( M `
 e )  -> 
( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) ) )
9784, 96mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
9865, 97eqtr3d 2497 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) +e
( M `  ( E  i^i  x ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
9998adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) +e
( M `  ( E  i^i  x ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
100 nfv 1712 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )
101 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ y
b
102 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ y { x }
103 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
104103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  e.  _V )
105 snex 4678 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
106105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  { x }  e.  _V )
107 disjsn 4076 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  i^i  { x } )  =  (/)  <->  -.  x  e.  b )
10842, 107sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( b  i^i  {
x } )  =  (/) )
10968ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
11086adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  E  e.  ~P O )
111110elpwincl1 27620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  ( E  i^i  y )  e.  ~P O )
112109, 111ffvelrnd 6008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  ( M `  ( E  i^i  y
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11368ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
11486adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  ->  E  e.  ~P O
)
115114elpwincl1 27620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  -> 
( E  i^i  y
)  e.  ~P O
)
116113, 115ffvelrnd 6008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  -> 
( M `  ( E  i^i  y ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
117100, 101, 102, 104, 106, 108, 112, 116esumsplit 28282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  (Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) +eΣ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y
) ) ) )
118117adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  (Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) +eΣ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y
) ) ) )
119 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  U. b ) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
120119eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. b ) ) )
121 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
122121ineq2d 3686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  =  x )  ->  ( E  i^i  y )  =  ( E  i^i  x ) )
123122fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  =  x )  ->  ( M `  ( E  i^i  y
) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
12468adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
12586elpwincl1 27620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  x
)  e.  ~P O
)
126124, 125ffvelrnd 6008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  x ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
127123, 40, 126esumsn 28294 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
128127adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
129120, 128oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
(Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) +eΣ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) +e
( M `  ( E  i^i  x ) ) ) )
130118, 129eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( ( M `
 ( E  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( E  i^i  x
) ) ) )
131 uniun 4254 . . . . . . . 8  |-  U. (
b  u.  { x } )  =  ( U. b  u.  U. { x } )
132 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
133132unisn 4250 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x }  =  x
134133uneq2i 3641 . . . . . . . 8  |-  ( U. b  u.  U. { x } )  =  ( U. b  u.  x
)
135131, 134eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  U. (
b  u.  { x } )  =  ( U. b  u.  x
)
136135ineq2i 3683 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) )  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)
137136fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( M `
 ( E  i^i  U. ( b  u.  {
x } ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) )
138137a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x ) ) ) )
13999, 130, 1383eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) ) )  = Σ* y  e.  ( b  u. 
{ x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
140139ex 432 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) )  ->  ( M `  ( E  i^i  U. ( b  u. 
{ x } ) ) )  = Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) ) ) )
1415, 10, 15, 20, 29, 140, 73findcard2d 7754 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  = Σ* y  e.  A
( M `  ( E  i^i  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235  Disj wdisj 4410   class class class wbr 4439   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673    ~<_ cdom 7507   Fincfn 7509   0cc0 9481   +oocpnf 9614    <_ cle 9618   +ecxad 11319   [,]cicc 11535  Σ*cesum 28256  toCaraSigaccarsg 28509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-plusf 16070  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-abv 17661  df-lmod 17709  df-scaf 17710  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tmd 20737  df-tgp 20738  df-tsms 20791  df-trg 20828  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-nrg 21272  df-nlm 21273  df-ii 21547  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-esum 28257  df-carsg 28510
This theorem is referenced by:  carsggect  28526  carsgclctunlem2  28527
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