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Theorem carsgclctunlem1 29151
Description: Lemma for carsgclctun 29155. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
fiunelcarsg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fiunelcarsg.2  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
carsgclctunlem1.1  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  y
)
carsgclctunlem1.2  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  = Σ* y  e.  A
( M `  ( E  i^i  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables  a 
e  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4225 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  U. (/) )
21ineq2d 3665 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. (/) ) )
32fveq2d 5883 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( M `
 ( E  i^i  U. a ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. (/) ) ) )
4 esumeq1 28857 . . 3  |-  ( a  =  (/)  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  (/) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) )
53, 4eqeq12d 2445 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  <-> 
( M `  ( E  i^i  U. (/) ) )  = Σ* y  e.  (/) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) ) )
6 unieq 4225 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  U. a  =  U. b )
76ineq2d 3665 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. b ) )
87fveq2d 5883 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( M `  ( E  i^i  U. a ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) )
9 esumeq1 28857 . . 3  |-  ( a  =  b  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
108, 9eqeq12d 2445 . 2  |-  ( a  =  b  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  <-> 
( M `  ( E  i^i  U. b ) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) ) )
11 unieq 4225 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  U. a  =  U. ( b  u.  {
x } ) )
1211ineq2d 3665 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. (
b  u.  { x } ) ) )
1312fveq2d 5883 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( M `  ( E  i^i  U. a
) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) ) ) )
14 esumeq1 28857 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  ( b  u.  { x }
) ( M `  ( E  i^i  y
) ) )
1513, 14eqeq12d 2445 . 2  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `
 ( E  i^i  y ) )  <->  ( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  {
x } ) ) )  = Σ* y  e.  ( b  u.  { x } ) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) ) )
16 unieq 4225 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  U. a  =  U. A )
1716ineq2d 3665 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. A ) )
1817fveq2d 5883 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( M `  ( E  i^i  U. a ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) )
19 esumeq1 28857 . . 3  |-  ( a  =  A  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  A ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
2018, 19eqeq12d 2445 . 2  |-  ( a  =  A  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  <-> 
( M `  ( E  i^i  U. A ) )  = Σ* y  e.  A
( M `  ( E  i^i  y ) ) ) )
21 uni0 4244 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
2221ineq2i 3662 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  U. (/) )  =  ( E  i^i  (/) )
23 in0 3789 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  (/) )  =  (/)
2422, 23eqtri 2452 . . . . 5  |-  ( E  i^i  U. (/) )  =  (/)
2524fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( M `
 ( E  i^i  U. (/) ) )  =  ( M `  (/) )
26 carsgsiga.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2725, 26syl5eq 2476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. (/) ) )  =  0 )
28 esumnul 28871 . . 3  |- Σ* y  e.  (/) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  0
2927, 28syl6eqr 2482 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. (/) ) )  = Σ* y  e.  (/) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) )
30 inass 3673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)  i^i  U. b
)  =  ( E  i^i  ( ( U. b  u.  x )  i^i  U. b ) )
31 indir 3722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  u.  x
)  i^i  U. b
)  =  ( ( U. b  i^i  U. b )  u.  (
x  i^i  U. b
) )
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  u.  x )  i^i  U. b )  =  ( ( U. b  i^i  U. b )  u.  (
x  i^i  U. b
) ) )
33 inidm 3672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. b  i^i  U. b )  =  U. b
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  i^i  U. b )  =  U. b )
35 incom 3656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. b  i^i  x )  =  ( x  i^i  U. b )
36 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  y
)
3736adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Disj  y  e.  A  y )
38 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  b  C_  A )
3938adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  C_  A )
40 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  x  e.  ( A  \  b ) )
4140eldifad 3449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  x  e.  A )
4240eldifbd 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  -.  x  e.  b
)
4341, 42eldifd 3448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  x  e.  ( A  \  b ) )
4437, 39, 43disjuniel 28203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  i^i  x )  =  (/) )
4535, 44syl5eqr 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( x  i^i  U. b )  =  (/) )
4634, 45uneq12d 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  i^i  U. b )  u.  ( x  i^i  U. b ) )  =  ( U. b  u.  (/) ) )
47 un0 3788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. b  u.  (/) )  = 
U. b
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  u.  (/) )  =  U. b )
4932, 46, 483eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  u.  x )  i^i  U. b )  =  U. b )
5049ineq2d 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  (
( U. b  u.  x )  i^i  U. b ) )  =  ( E  i^i  U. b ) )
5130, 50syl5eq 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b )  =  ( E  i^i  U. b
) )
5251fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( M `  (
( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. b ) ) )
53 indif2 3717 . . . . . . . . 9  |-  ( E  i^i  ( ( U. b  u.  x )  \  U. b ) )  =  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x ) )  \  U. b )
54 uncom 3611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. b  u.  x )  =  ( x  u. 
U. b )
5554difeq1i 3580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  u.  x
)  \  U. b
)  =  ( ( x  u.  U. b
)  \  U. b
)
56 disj3 3838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  <->  x  =  ( x  \  U. b
) )
5756biimpi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  ->  x  =  ( x  \  U. b ) )
58 difun2 3876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  u.  U. b
)  \  U. b
)  =  ( x 
\  U. b )
5957, 58syl6reqr 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  ->  (
( x  u.  U. b )  \  U. b )  =  x )
6055, 59syl5eq 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  ->  (
( U. b  u.  x )  \  U. b )  =  x )
6145, 60syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  u.  x )  \  U. b )  =  x )
6261ineq2d 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  (
( U. b  u.  x )  \  U. b ) )  =  ( E  i^i  x
) )
6353, 62syl5eqr 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b )  =  ( E  i^i  x ) )
6463fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( M `  (
( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
6552, 64oveq12d 6321 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( ( M `
 ( E  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( E  i^i  x
) ) ) )
66 carsgval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
6766adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  O  e.  V )
68 carsgval.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
6968adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7026adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
71 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
72713adant1r 1258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  C_  A )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
73 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
74 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  b  C_  A )  -> 
b  e.  Fin )
7573, 74sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  b  e.  Fin )
76 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
7838, 77sstrd 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  b  C_  (toCaraSiga `  M ) )
7967, 69, 70, 72, 75, 78fiunelcarsg 29150 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )
8066, 68elcarsg 29139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U. b  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U. b  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) ) ) )
8180adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  ( U. b  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U. b  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) ) ) )
8279, 81mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  ( U. b  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) ) )
8382simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. b ) ) )  =  ( M `
 e ) )
8483adantrr 722 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `
 ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) )
85 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
8685adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  E  e.  ~P O
)
8786elpwincl1 28149 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  e.  ~P O )
88 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) )
8988ineq1d 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
e  i^i  U. b
)  =  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)  i^i  U. b
) )
9089fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  ( M `  ( e  i^i  U. b ) )  =  ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) )
9188difeq1d 3583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
e  \  U. b
)  =  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)  \  U. b
) )
9291fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  ( M `  ( e  \  U. b ) )  =  ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )
9390, 92oveq12d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
( M `  (
e  i^i  U. b
) ) +e
( M `  (
e  \  U. b
) ) )  =  ( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) ) )
9488fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  ( M `  e )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
9593, 94eqeq12d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e )  <->  ( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x ) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) ) )
9687, 95rspcdv 3186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( A. e  e. 
~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. b ) ) )  =  ( M `
 e )  -> 
( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) ) )
9784, 96mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
9865, 97eqtr3d 2466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) +e
( M `  ( E  i^i  x ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
9998adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) +e
( M `  ( E  i^i  x ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
100 nfv 1752 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )
101 nfcv 2585 . . . . . . 7  |-  F/_ y
b
102 nfcv 2585 . . . . . . 7  |-  F/_ y { x }
103 vex 3085 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
104103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  e.  _V )
105 snex 4660 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
106105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  { x }  e.  _V )
107 disjsn 4058 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  i^i  { x } )  =  (/)  <->  -.  x  e.  b )
10842, 107sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( b  i^i  {
x } )  =  (/) )
10968ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
11086adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  E  e.  ~P O )
111110elpwincl1 28149 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  ( E  i^i  y )  e.  ~P O )
112109, 111ffvelrnd 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  ( M `  ( E  i^i  y
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11368ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
11486adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  ->  E  e.  ~P O
)
115114elpwincl1 28149 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  -> 
( E  i^i  y
)  e.  ~P O
)
116113, 115ffvelrnd 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  -> 
( M `  ( E  i^i  y ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
117100, 101, 102, 104, 106, 108, 112, 116esumsplit 28876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  (Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) +eΣ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y
) ) ) )
118117adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  (Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) +eΣ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y
) ) ) )
119 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  U. b ) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
120119eqcomd 2431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. b ) ) )
121 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
122121ineq2d 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  =  x )  ->  ( E  i^i  y )  =  ( E  i^i  x ) )
123122fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  =  x )  ->  ( M `  ( E  i^i  y
) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
12468adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
12586elpwincl1 28149 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  x
)  e.  ~P O
)
126124, 125ffvelrnd 6036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  x ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
127123, 40, 126esumsn 28888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
128127adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
129120, 128oveq12d 6321 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
(Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) +eΣ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) +e
( M `  ( E  i^i  x ) ) ) )
130118, 129eqtrd 2464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( ( M `
 ( E  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( E  i^i  x
) ) ) )
131 uniun 4236 . . . . . . . 8  |-  U. (
b  u.  { x } )  =  ( U. b  u.  U. { x } )
132 vex 3085 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
133132unisn 4232 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x }  =  x
134133uneq2i 3618 . . . . . . . 8  |-  ( U. b  u.  U. { x } )  =  ( U. b  u.  x
)
135131, 134eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  U. (
b  u.  { x } )  =  ( U. b  u.  x
)
136135ineq2i 3662 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) )  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)
137136fveq2i 5882 . . . . 5  |-  ( M `
 ( E  i^i  U. ( b  u.  {
x } ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) )
138137a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x ) ) ) )
13999, 130, 1383eqtr4rd 2475 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) ) )  = Σ* y  e.  ( b  u. 
{ x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
140139ex 436 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) )  ->  ( M `  ( E  i^i  U. ( b  u. 
{ x } ) ) )  = Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) ) ) )
1415, 10, 15, 20, 29, 140, 73findcard2d 7817 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  = Σ* y  e.  A
( M `  ( E  i^i  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   U.cuni 4217  Disj wdisj 4392   class class class wbr 4421   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   omcom 6704    ~<_ cdom 7573   Fincfn 7575   0cc0 9541   +oocpnf 9674    <_ cle 9678   +ecxad 11409   [,]cicc 11640  Σ*cesum 28850  toCaraSigaccarsg 29135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-plusf 16480  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-subrg 17999  df-abv 18038  df-lmod 18086  df-scaf 18087  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-tmd 21079  df-tgp 21080  df-tsms 21133  df-trg 21166  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-nm 21589  df-ngp 21590  df-nrg 21592  df-nlm 21593  df-ii 21901  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498  df-esum 28851  df-carsg 29136
This theorem is referenced by:  carsggect  29152  carsgclctunlem2  29153
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