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Theorem carsgclctunlem1 29142
Description: Lemma for carsgclctun 29146. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
fiunelcarsg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fiunelcarsg.2  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
carsgclctunlem1.1  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  y
)
carsgclctunlem1.2  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  = Σ* y  e.  A
( M `  ( E  i^i  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables  a 
e  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4205 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  U. (/) )
21ineq2d 3633 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. (/) ) )
32fveq2d 5867 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( M `
 ( E  i^i  U. a ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. (/) ) ) )
4 esumeq1 28848 . . 3  |-  ( a  =  (/)  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  (/) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) )
53, 4eqeq12d 2465 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( M `  ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  <-> 
( M `  ( E  i^i  U. (/) ) )  = Σ* y  e.  (/) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) ) )
6 unieq 4205 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  U. a  =  U. b )
76ineq2d 3633 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. b ) )
87fveq2d 5867 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( M `  ( E  i^i  U. a ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) )
9 esumeq1 28848 . . 3  |-  ( a  =  b  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
108, 9eqeq12d 2465 . 2  |-  ( a  =  b  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  <-> 
( M `  ( E  i^i  U. b ) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) ) )
11 unieq 4205 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  U. a  =  U. ( b  u.  {
x } ) )
1211ineq2d 3633 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. (
b  u.  { x } ) ) )
1312fveq2d 5867 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( M `  ( E  i^i  U. a
) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) ) ) )
14 esumeq1 28848 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  ( b  u.  { x }
) ( M `  ( E  i^i  y
) ) )
1513, 14eqeq12d 2465 . 2  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( ( M `
 ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `
 ( E  i^i  y ) )  <->  ( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  {
x } ) ) )  = Σ* y  e.  ( b  u.  { x } ) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) ) )
16 unieq 4205 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  U. a  =  U. A )
1716ineq2d 3633 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( E  i^i  U. a )  =  ( E  i^i  U. A ) )
1817fveq2d 5867 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( M `  ( E  i^i  U. a ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. A
) ) )
19 esumeq1 28848 . . 3  |-  ( a  =  A  -> Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  = Σ* y  e.  A ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
2018, 19eqeq12d 2465 . 2  |-  ( a  =  A  ->  (
( M `  ( E  i^i  U. a ) )  = Σ* y  e.  a ( M `  ( E  i^i  y ) )  <-> 
( M `  ( E  i^i  U. A ) )  = Σ* y  e.  A
( M `  ( E  i^i  y ) ) ) )
21 uni0 4224 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
2221ineq2i 3630 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  U. (/) )  =  ( E  i^i  (/) )
23 in0 3759 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  (/) )  =  (/)
2422, 23eqtri 2472 . . . . 5  |-  ( E  i^i  U. (/) )  =  (/)
2524fveq2i 5866 . . . 4  |-  ( M `
 ( E  i^i  U. (/) ) )  =  ( M `  (/) )
26 carsgsiga.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2725, 26syl5eq 2496 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. (/) ) )  =  0 )
28 esumnul 28862 . . 3  |- Σ* y  e.  (/) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  0
2927, 28syl6eqr 2502 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. (/) ) )  = Σ* y  e.  (/) ( M `
 ( E  i^i  y ) ) )
30 inass 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)  i^i  U. b
)  =  ( E  i^i  ( ( U. b  u.  x )  i^i  U. b ) )
31 indir 3690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  u.  x
)  i^i  U. b
)  =  ( ( U. b  i^i  U. b )  u.  (
x  i^i  U. b
) )
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  u.  x )  i^i  U. b )  =  ( ( U. b  i^i  U. b )  u.  (
x  i^i  U. b
) ) )
33 inidm 3640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. b  i^i  U. b )  =  U. b
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  i^i  U. b )  =  U. b )
35 incom 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. b  i^i  x )  =  ( x  i^i  U. b )
36 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  y
)
3736adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Disj  y  e.  A  y )
38 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  b  C_  A )
3938adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  C_  A )
40 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  x  e.  ( A  \  b ) )
4140eldifad 3415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  x  e.  A )
4240eldifbd 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  -.  x  e.  b
)
4341, 42eldifd 3414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  x  e.  ( A  \  b ) )
4437, 39, 43disjuniel 28200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  i^i  x )  =  (/) )
4535, 44syl5eqr 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( x  i^i  U. b )  =  (/) )
4634, 45uneq12d 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  i^i  U. b )  u.  ( x  i^i  U. b ) )  =  ( U. b  u.  (/) ) )
47 un0 3758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. b  u.  (/) )  = 
U. b
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  u.  (/) )  =  U. b )
4932, 46, 483eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  u.  x )  i^i  U. b )  =  U. b )
5049ineq2d 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  (
( U. b  u.  x )  i^i  U. b ) )  =  ( E  i^i  U. b ) )
5130, 50syl5eq 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b )  =  ( E  i^i  U. b
) )
5251fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( M `  (
( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. b ) ) )
53 indif2 3685 . . . . . . . . 9  |-  ( E  i^i  ( ( U. b  u.  x )  \  U. b ) )  =  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x ) )  \  U. b )
54 uncom 3577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. b  u.  x )  =  ( x  u. 
U. b )
5554difeq1i 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  u.  x
)  \  U. b
)  =  ( ( x  u.  U. b
)  \  U. b
)
56 disj3 3808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  <->  x  =  ( x  \  U. b
) )
5756biimpi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  ->  x  =  ( x  \  U. b ) )
58 difun2 3846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  u.  U. b
)  \  U. b
)  =  ( x 
\  U. b )
5957, 58syl6reqr 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  ->  (
( x  u.  U. b )  \  U. b )  =  x )
6055, 59syl5eq 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  i^i  U. b
)  =  (/)  ->  (
( U. b  u.  x )  \  U. b )  =  x )
6145, 60syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( U. b  u.  x )  \  U. b )  =  x )
6261ineq2d 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  (
( U. b  u.  x )  \  U. b ) )  =  ( E  i^i  x
) )
6353, 62syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b )  =  ( E  i^i  x ) )
6463fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( M `  (
( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
6552, 64oveq12d 6306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( ( M `
 ( E  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( E  i^i  x
) ) ) )
66 carsgval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
6766adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  O  e.  V )
68 carsgval.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
6968adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7026adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
71 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
72713adant1r 1260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  C_  A )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
73 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
74 ssfi 7789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  b  C_  A )  -> 
b  e.  Fin )
7573, 74sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  b  e.  Fin )
76 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
7838, 77sstrd 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  b  C_  (toCaraSiga `  M ) )
7967, 69, 70, 72, 75, 78fiunelcarsg 29141 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )
8066, 68elcarsg 29130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U. b  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U. b  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) ) ) )
8180adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  ( U. b  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( U. b  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) ) ) )
8279, 81mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  ( U. b  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) ) )
8382simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  C_  A )  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. b ) ) )  =  ( M `
 e ) )
8483adantrr 722 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `
 ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e ) )
85 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ~P O
)
8685adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  E  e.  ~P O
)
8786elpwincl1 28147 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  e.  ~P O )
88 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) )
8988ineq1d 3632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
e  i^i  U. b
)  =  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)  i^i  U. b
) )
9089fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  ( M `  ( e  i^i  U. b ) )  =  ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) )
9188difeq1d 3549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
e  \  U. b
)  =  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)  \  U. b
) )
9291fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  ( M `  ( e  \  U. b ) )  =  ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )
9390, 92oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
( M `  (
e  i^i  U. b
) ) +e
( M `  (
e  \  U. b
) ) )  =  ( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) ) )
9488fveq2d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  ( M `  e )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
9593, 94eqeq12d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  e  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
) )  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e  \  U. b ) ) )  =  ( M `  e )  <->  ( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x ) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) ) )
9687, 95rspcdv 3152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( A. e  e. 
~P  O ( ( M `  ( e  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( e 
\  U. b ) ) )  =  ( M `
 e )  -> 
( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) ) )
9784, 96mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) )  \  U. b ) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
9865, 97eqtr3d 2486 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) +e
( M `  ( E  i^i  x ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
9998adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) +e
( M `  ( E  i^i  x ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) ) )
100 nfv 1760 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )
101 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ y
b
102 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ y { x }
103 vex 3047 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
104103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  e.  _V )
105 snex 4640 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
106105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  { x }  e.  _V )
107 disjsn 4031 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  i^i  { x } )  =  (/)  <->  -.  x  e.  b )
10842, 107sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( b  i^i  {
x } )  =  (/) )
10968ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
11086adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  E  e.  ~P O )
111110elpwincl1 28147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  ( E  i^i  y )  e.  ~P O )
112109, 111ffvelrnd 6021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  b )  ->  ( M `  ( E  i^i  y
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11368ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
11486adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  ->  E  e.  ~P O
)
115114elpwincl1 28147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  -> 
( E  i^i  y
)  e.  ~P O
)
116113, 115ffvelrnd 6021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  e.  {
x } )  -> 
( M `  ( E  i^i  y ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
117100, 101, 102, 104, 106, 108, 112, 116esumsplit 28867 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  (Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) +eΣ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y
) ) ) )
118117adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  (Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) +eΣ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y
) ) ) )
119 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  U. b ) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
120119eqcomd 2456 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) )  =  ( M `  ( E  i^i  U. b ) ) )
121 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
122121ineq2d 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  =  x )  ->  ( E  i^i  y )  =  ( E  i^i  x ) )
123122fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  y  =  x )  ->  ( M `  ( E  i^i  y
) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
12468adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
12586elpwincl1 28147 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( E  i^i  x
)  e.  ~P O
)
126124, 125ffvelrnd 6021 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  x ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
127123, 40, 126esumsn 28879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
128127adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( M `  ( E  i^i  x ) ) )
129120, 128oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
(Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y ) ) +eΣ* y  e.  { x }  ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  =  ( ( M `  ( E  i^i  U. b
) ) +e
( M `  ( E  i^i  x ) ) ) )
130118, 129eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) )  =  ( ( M `
 ( E  i^i  U. b ) ) +e ( M `  ( E  i^i  x
) ) ) )
131 uniun 4216 . . . . . . . 8  |-  U. (
b  u.  { x } )  =  ( U. b  u.  U. { x } )
132 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
133132unisn 4212 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x }  =  x
134133uneq2i 3584 . . . . . . . 8  |-  ( U. b  u.  U. { x } )  =  ( U. b  u.  x
)
135131, 134eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  U. (
b  u.  { x } )  =  ( U. b  u.  x
)
136135ineq2i 3630 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) )  =  ( E  i^i  ( U. b  u.  x )
)
137136fveq2i 5866 . . . . 5  |-  ( M `
 ( E  i^i  U. ( b  u.  {
x } ) ) )  =  ( M `
 ( E  i^i  ( U. b  u.  x
) ) )
138137a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) ) )  =  ( M `  ( E  i^i  ( U. b  u.  x ) ) ) )
13999, 130, 1383eqtr4rd 2495 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) ) )  -> 
( M `  ( E  i^i  U. ( b  u.  { x }
) ) )  = Σ* y  e.  ( b  u. 
{ x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) ) )
140139ex 436 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( ( M `  ( E  i^i  U. b
) )  = Σ* y  e.  b ( M `  ( E  i^i  y
) )  ->  ( M `  ( E  i^i  U. ( b  u. 
{ x } ) ) )  = Σ* y  e.  ( b  u.  {
x } ) ( M `  ( E  i^i  y ) ) ) )
1415, 10, 15, 20, 29, 140, 73findcard2d 7810 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( E  i^i  U. A ) )  = Σ* y  e.  A
( M `  ( E  i^i  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197  Disj wdisj 4372   class class class wbr 4401   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   omcom 6689    ~<_ cdom 7564   Fincfn 7566   0cc0 9536   +oocpnf 9669    <_ cle 9673   +ecxad 11404   [,]cicc 11635  Σ*cesum 28841  toCaraSigaccarsg 29126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-plusf 16480  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-subrg 17999  df-abv 18038  df-lmod 18086  df-scaf 18087  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-tmd 21080  df-tgp 21081  df-tsms 21134  df-trg 21167  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-nm 21590  df-ngp 21591  df-nrg 21593  df-nlm 21594  df-ii 21902  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-esum 28842  df-carsg 29127
This theorem is referenced by:  carsggect  29143  carsgclctunlem2  29144
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