Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumnul 29437
 Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumnul Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0

Proof of Theorem esumnul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1721 . . . 4 𝑥
2 nfcv 2751 . . . 4 𝑥
3 0ex 4718 . . . . 5 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
5 ral0 4028 . . . . . 6 𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
76r19.21bi 2916 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
8 pw0 4283 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 ∅ = {∅}
98ineq1i 3772 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = ({∅} ∩ Fin)
10 0fin 8073 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
11 snssi 4280 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ Fin → {∅} ⊆ Fin)
12 df-ss 3554 . . . . . . . . . . . . . 14 ({∅} ⊆ Fin ↔ ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1311, 12sylib 207 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ Fin → ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ({∅} ∩ Fin) = {∅}
159, 14eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = {∅}
1615eleq2i 2680 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ 𝑦 ∈ {∅})
17 velsn 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {∅} ↔ 𝑦 = ∅)
1816, 17sylbb 208 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑦 = ∅)
1918mpteq1d 4666 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
20 mpt0 5934 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
2119, 20syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = ∅)
2221oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅))
23 xrge00 29017 . . . . . . 7 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2423gsum0 17101 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
2522, 24syl6eq 2660 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
2625adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
271, 2, 4, 7, 26esumval 29435 . . 3 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
2827trud 1484 . 2 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < )
29 fconstmpt 5085 . . . . 5 ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3029eqcomi 2619 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0})
31 0xr 9965 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
3231rgenw 2908 . . . . . 6 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
33 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3433fnmpt 5933 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin))
3532, 34ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin)
363snnz 4252 . . . . . 6 {∅} ≠ ∅
3715, 36eqnetri 2852 . . . . 5 (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅
38 fconst5 6376 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
3935, 37, 38mp2an 704 . . . 4 ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
4030, 39mpbi 219 . . 3 ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
4140supeq1i 8236 . 2 sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
42 xrltso 11850 . . 3 < Or ℝ*
43 supsn 8261 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
4442, 31, 43mp2an 704 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
4528, 41, 443eqtri 2636 1 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   Or wor 4958   × cxp 5036  ran crn 5039   Fn wfn 5799  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  [,]cicc 12049   ↾s cress 15696   Σg cgsu 15924  ℝ*𝑠cxrs 15983  Σ*cesum 29416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-cn 20841  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740  df-esum 29417 This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  29457  esum2dlem  29481  ddemeas  29626  carsgclctunlem1  29706
 Copyright terms: Public domain W3C validator