Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsplit 29442
 Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsplit.1 𝑘𝜑
esumsplit.2 𝑘𝐴
esumsplit.3 𝑘𝐵
esumsplit.4 (𝜑𝐴 ∈ V)
esumsplit.5 (𝜑𝐵 ∈ V)
esumsplit.6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
esumsplit.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumsplit.8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsplit (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))

Proof of Theorem esumsplit
StepHypRef Expression
1 esumsplit.1 . 2 𝑘𝜑
2 esumsplit.2 . . 3 𝑘𝐴
3 esumsplit.3 . . 3 𝑘𝐵
42, 3nfun 3731 . 2 𝑘(𝐴𝐵)
5 esumsplit.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 esumsplit.5 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 unexg 6857 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
9 elun 3715 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
10 esumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11 esumsplit.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1210, 11jaodan 822 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
139, 12sylan2b 491 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 xrge0base 29016 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
15 xrge0plusg 29018 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
16 xrge0cmn 19607 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18 xrge0tmd 29320 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
20 nfcv 2751 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
21 eqid 2610 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)
221, 4, 20, 13, 21fmptdF 28836 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴𝐵)⟶(0[,]+∞))
231, 2, 5, 10esumel 29436 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
24 ssun1 3738 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
254, 2resmptf 28838 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2624, 25mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2726oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
2823, 27eleqtrrd 2691 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)))
291, 3, 6, 11esumel 29436 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
30 ssun2 3739 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
314, 3resmptf 28838 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3332oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
3429, 33eleqtrrd 2691 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)))
35 esumsplit.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
36 eqidd 2611 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵))
3714, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36tsmssplit 21765 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)))
381, 4, 8, 13, 37esumid 29433 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049   ↾s cress 15696  ℝ*𝑠cxrs 15983  CMndccmn 18016  TopMndctmd 21684   tsums ctsu 21739  Σ*cesum 29416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-tsms 21740  df-trg 21773  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-ii 22488  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-esum 29417 This theorem is referenced by:  esummono  29443  esumpad  29444  esumpr  29455  esumrnmpt2  29457  esumfzf  29458  esumpmono  29468  hasheuni  29474  esum2dlem  29481  measvuni  29604  ddemeas  29626  carsgclctunlem1  29706
 Copyright terms: Public domain W3C validator