Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meascnbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meascnbl 29609
 Description: A measure is continuous from below. Cf. volsup 23131. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
meascnbl.0 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
meascnbl.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
meascnbl.2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑆)
meascnbl.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
Assertion
Ref Expression
meascnbl (𝜑 → (𝑀𝐹)(⇝𝑡𝐽)(𝑀 ran 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐽   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem meascnbl
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑜 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meascnbl.0 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 meascnbl.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
32adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
4 measbase 29587 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ran sigAlgebra)
7 meascnbl.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑆)
87ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
9 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝜑)
10 fzossnn 12384 . . . . . . . . 9 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
11 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛))
1210, 11sseldi 3566 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
137ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
149, 12, 13syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
1514ralrimiva 2949 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
16 sigaclfu2 29511 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
176, 15, 16syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
18 difelsiga 29523 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆)
196, 8, 17, 18syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆)
20 measvxrge0 29595 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆) → (𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) ∈ (0[,]+∞))
213, 19, 20syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) ∈ (0[,]+∞))
22 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = 𝑜 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑜))
23 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑜 → (1..^𝑛) = (1..^𝑜))
2423iuneq1d 4481 . . . . 5 (𝑛 = 𝑜 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑘 ∈ (1..^𝑜)(𝐹𝑘))
2522, 24difeq12d 3691 . . . 4 (𝑛 = 𝑜 → ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑜) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑜)(𝐹𝑘)))
2625fveq2d 6107 . . 3 (𝑛 = 𝑜 → (𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) = (𝑀‘((𝐹𝑜) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑜)(𝐹𝑘))))
27 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑝))
28 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 → (1..^𝑛) = (1..^𝑝))
2928iuneq1d 4481 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑘 ∈ (1..^𝑝)(𝐹𝑘))
3027, 29difeq12d 3691 . . . 4 (𝑛 = 𝑝 → ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑝) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑝)(𝐹𝑘)))
3130fveq2d 6107 . . 3 (𝑛 = 𝑝 → (𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) = (𝑀‘((𝐹𝑝) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑝)(𝐹𝑘))))
321, 21, 26, 31esumcvg2 29476 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))(⇝𝑡𝐽*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))
33 measfrge0 29593 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
342, 33syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
35 fcompt 6306 . . . 4 ((𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑆) → (𝑀𝐹) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖))))
3634, 7, 35syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐹) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖))))
37 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑛(𝐹𝑘)
38 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
39 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
4039nnzd 11357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
41 fzval3 12404 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
4342olcd 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1...𝑖) = ℕ ∨ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1))))
442adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
45 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) → 𝜑)
46 fzossnn 12384 . . . . . . . 8 (1..^(𝑖 + 1)) ⊆ ℕ
4742eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (1...𝑖) ↔ 𝑛 ∈ (1..^(𝑖 + 1))))
4847biimpa 500 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) → 𝑛 ∈ (1..^(𝑖 + 1)))
4946, 48sseldi 3566 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5045, 49, 8syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
5137, 38, 43, 44, 50measiuns 29607 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑀 𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))
52 ffn 5958 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶𝑆𝐹 Fn ℕ)
537, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
54 meascnbl.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5553, 54iuninc 28761 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
5655fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑀 𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑛)) = (𝑀‘(𝐹𝑖)))
5751, 56eqtr3d 2646 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) = (𝑀‘(𝐹𝑖)))
5857mpteq2dva 4672 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖))))
5936, 58eqtr4d 2647 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐹) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)))))
608ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
61 dfiun2g 4488 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ 𝑆 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
6260, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
63 fnrnfv 6152 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℕ → ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
6453, 63syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
6564unieqd 4382 . . . . 5 (𝜑 ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
6662, 65eqtr4d 2647 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = ran 𝐹)
6766fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)) = (𝑀 ran 𝐹))
68 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → ℕ = ℕ)
6968orcd 406 . . . 4 (𝜑 → (ℕ = ℕ ∨ ℕ = (1..^(𝑖 + 1))))
7037, 38, 69, 2, 8measiuns 29607 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))
7167, 70eqtr3d 2646 . 2 (𝜑 → (𝑀 ran 𝐹) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))
7232, 59, 713brtr4d 4615 1 (𝜑 → (𝑀𝐹)(⇝𝑡𝐽)(𝑀 ran 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℕcn 10897  ℤcz 11254  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334   ↾s cress 15696  TopOpenctopn 15905  ℝ*𝑠cxrs 15983  ⇝𝑡clm 20840  Σ*cesum 29416  sigAlgebracsiga 29497  measurescmeas 29585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-tsms 21740  df-trg 21773  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-ii 22488  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-esum 29417  df-siga 29498  df-meas 29586 This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  29866
 Copyright terms: Public domain W3C validator