Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meascnbl Structured version   Unicode version

Theorem meascnbl 28548
 Description: A measure is continuous from below. Cf. volsup 22148. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
meascnbl.0 s
meascnbl.1 measures
meascnbl.2
meascnbl.3
Assertion
Ref Expression
meascnbl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem meascnbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meascnbl.0 . . 3 s
2 meascnbl.1 . . . . 5 measures
32adantr 463 . . . 4 measures
4 measbase 28526 . . . . . . 7 measures sigAlgebra
52, 4syl 17 . . . . . 6 sigAlgebra
65adantr 463 . . . . 5 sigAlgebra
7 meascnbl.2 . . . . . 6
87ffvelrnda 5963 . . . . 5
9 simpll 752 . . . . . . . 8 ..^
10 fzossnn 11813 . . . . . . . . 9 ..^
11 simpr 459 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
1210, 11sseldi 3437 . . . . . . . 8 ..^
137ffvelrnda 5963 . . . . . . . 8
149, 12, 13syl2anc 659 . . . . . . 7 ..^
1514ralrimiva 2815 . . . . . 6 ..^
16 sigaclfu2 28450 . . . . . 6 sigAlgebra ..^ ..^
176, 15, 16syl2anc 659 . . . . 5 ..^
18 difelsiga 28462 . . . . 5 sigAlgebra ..^ ..^
196, 8, 17, 18syl3anc 1228 . . . 4 ..^
20 measvxrge0 28534 . . . 4 measures ..^ ..^
213, 19, 20syl2anc 659 . . 3 ..^
22 fveq2 5803 . . . . 5
23 oveq2 6240 . . . . . 6 ..^ ..^
2423iuneq1d 4293 . . . . 5 ..^ ..^
2522, 24difeq12d 3559 . . . 4 ..^ ..^
2625fveq2d 5807 . . 3 ..^ ..^
27 fveq2 5803 . . . . 5
28 oveq2 6240 . . . . . 6 ..^ ..^
2928iuneq1d 4293 . . . . 5 ..^ ..^
3027, 29difeq12d 3559 . . . 4 ..^ ..^
3130fveq2d 5807 . . 3 ..^ ..^
321, 21, 26, 31esumcvg2 28415 . 2 Σ* ..^Σ* ..^
33 measfrge0 28532 . . . . 5 measures
342, 33syl 17 . . . 4
35 fcompt 6000 . . . 4
3634, 7, 35syl2anc 659 . . 3
37 nfcv 2562 . . . . . 6
38 fveq2 5803 . . . . . 6
39 simpr 459 . . . . . . . . 9
4039nnzd 10925 . . . . . . . 8
41 fzval3 11832 . . . . . . . 8 ..^
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ..^
4342olcd 391 . . . . . 6 ..^
442adantr 463 . . . . . 6 measures
45 simpll 752 . . . . . . 7
46 fzossnn 11813 . . . . . . . 8 ..^
4742eleq2d 2470 . . . . . . . . 9 ..^
4847biimpa 482 . . . . . . . 8 ..^
4946, 48sseldi 3437 . . . . . . 7
5045, 49, 8syl2anc 659 . . . . . 6
5137, 38, 43, 44, 50measiuns 28546 . . . . 5 Σ* ..^
52 ffn 5668 . . . . . . . 8
537, 52syl 17 . . . . . . 7
54 meascnbl.3 . . . . . . 7
5553, 54iuninc 27739 . . . . . 6
5655fveq2d 5807 . . . . 5
5751, 56eqtr3d 2443 . . . 4 Σ* ..^
5857mpteq2dva 4478 . . 3 Σ* ..^
5936, 58eqtr4d 2444 . 2 Σ* ..^
608ralrimiva 2815 . . . . . 6
61 dfiun2g 4300 . . . . . 6
6260, 61syl 17 . . . . 5
63 fnrnfv 5849 . . . . . . 7
6453, 63syl 17 . . . . . 6
6564unieqd 4198 . . . . 5
6662, 65eqtr4d 2444 . . . 4
6766fveq2d 5807 . . 3
68 eqidd 2401 . . . . 5
6968orcd 390 . . . 4 ..^
7037, 38, 69, 2, 8measiuns 28546 . . 3 Σ* ..^
7167, 70eqtr3d 2443 . 2 Σ* ..^
7232, 59, 713brtr4d 4422 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1403   wcel 1840  cab 2385  wral 2751  wrex 2752   cdif 3408   wss 3411  cuni 4188  ciun 4268   class class class wbr 4392   cmpt 4450   crn 4941   ccom 4944   wfn 5518  wf 5519  cfv 5523  (class class class)co 6232  cc0 9440  c1 9441   caddc 9443   cpnf 9573  cn 10494  cz 10823  cicc 11501  cfz 11641  ..^cfzo 11765   ↾s cress 14732  ctopn 14926  cxrs 15004  clm 19910  Σ*cesum 28355  sigAlgebracsiga 28436  measurescmeas 28524 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-ac2 8793  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-disj 4364  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-acn 8273  df-ac 8447  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-fac 12306  df-bc 12333  df-hash 12358  df-shft 12954  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-limsup 13348  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-ef 13902  df-sin 13904  df-cos 13905  df-pi 13907  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-rest 14927  df-topn 14928  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-topgen 14948  df-pt 14949  df-prds 14952  df-ordt 15005  df-xrs 15006  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-xps 15014  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-ps 16044  df-tsr 16045  df-plusf 16085  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-mulg 16274  df-subg 16412  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-subrg 17637  df-abv 17676  df-lmod 17724  df-scaf 17725  df-sra 18028  df-rgmod 18029  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-fbas 18626  df-fg 18627  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cld 19702  df-ntr 19703  df-cls 19704  df-nei 19782  df-lp 19820  df-perf 19821  df-cn 19911  df-cnp 19912  df-lm 19913  df-haus 19999  df-tx 20245  df-hmeo 20438  df-fil 20529  df-fm 20621  df-flim 20622  df-flf 20623  df-tmd 20753  df-tgp 20754  df-tsms 20807  df-trg 20844  df-xms 21005  df-ms 21006  df-tms 21007  df-nm 21285  df-ngp 21286  df-nrg 21288  df-nlm 21289  df-ii 21563  df-cncf 21564  df-limc 22452  df-dv 22453  df-log 23126  df-esum 28356  df-siga 28437  df-meas 28525 This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  28803
 Copyright terms: Public domain W3C validator