Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meascnbl Structured version   Unicode version

Theorem meascnbl 28548
Description: A measure is continuous from below. Cf. volsup 22148. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
meascnbl.0  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
meascnbl.1  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
meascnbl.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> S )
meascnbl.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
meascnbl  |-  ( ph  ->  ( M  o.  F
) ( ~~> t `  J ) ( M `
 U. ran  F
) )
Distinct variable groups:    n, F    n, J    n, M    S, n    ph, n

Proof of Theorem meascnbl
Dummy variables  i 
k  o  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meascnbl.0 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 meascnbl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
32adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
4 measbase 28526 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
52, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
65adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  e. 
U. ran sigAlgebra )
7 meascnbl.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> S )
87ffvelrnda 5963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  S )
9 simpll 752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ph )
10 fzossnn 11813 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
11 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  k  e.  ( 1..^ n ) )
1210, 11sseldi 3437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  k  e.  NN )
137ffvelrnda 5963 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  S )
149, 12, 13syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
1514ralrimiva 2815 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  e.  S )
16 sigaclfu2 28450 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k )  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  e.  S )
176, 15, 16syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  e.  S )
18 difelsiga 28462 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( F `  n )  e.  S  /\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k )  e.  S )  ->  (
( F `  n
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
) )  e.  S
)
196, 8, 17, 18syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) )  e.  S )
20 measvxrge0 28534 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) )  e.  S )  ->  ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
213, 19, 20syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( ( F `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( F `  k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
22 fveq2 5803 . . . . 5  |-  ( n  =  o  ->  ( F `  n )  =  ( F `  o ) )
23 oveq2 6240 . . . . . 6  |-  ( n  =  o  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ o ) )
2423iuneq1d 4293 . . . . 5  |-  ( n  =  o  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  =  U_ k  e.  ( 1..^ o ) ( F `  k
) )
2522, 24difeq12d 3559 . . . 4  |-  ( n  =  o  ->  (
( F `  n
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
) )  =  ( ( F `  o
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ o ) ( F `  k
) ) )
2625fveq2d 5807 . . 3  |-  ( n  =  o  ->  ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) )  =  ( M `  ( ( F `  o ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ o ) ( F `  k ) ) ) )
27 fveq2 5803 . . . . 5  |-  ( n  =  p  ->  ( F `  n )  =  ( F `  p ) )
28 oveq2 6240 . . . . . 6  |-  ( n  =  p  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ p ) )
2928iuneq1d 4293 . . . . 5  |-  ( n  =  p  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  =  U_ k  e.  ( 1..^ p ) ( F `  k
) )
3027, 29difeq12d 3559 . . . 4  |-  ( n  =  p  ->  (
( F `  n
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
) )  =  ( ( F `  p
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ p ) ( F `  k
) ) )
3130fveq2d 5807 . . 3  |-  ( n  =  p  ->  ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) )  =  ( M `  ( ( F `  p ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ p ) ( F `  k ) ) ) )
321, 21, 26, 31esumcvg2 28415 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |-> Σ* n  e.  ( 1 ... i
) ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) ) ) ( ~~> t `  J )Σ* n  e.  NN ( M `  ( ( F `  n ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) ) )
33 measfrge0 28532 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  M : S
--> ( 0 [,] +oo ) )
342, 33syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
35 fcompt 6000 . . . 4  |-  ( ( M : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : NN --> S )  ->  ( M  o.  F )  =  ( i  e.  NN  |->  ( M `  ( F `
 i ) ) ) )
3634, 7, 35syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  o.  F
)  =  ( i  e.  NN  |->  ( M `
 ( F `  i ) ) ) )
37 nfcv 2562 . . . . . 6  |-  F/_ n
( F `  k
)
38 fveq2 5803 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
39 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
4039nnzd 10925 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ZZ )
41 fzval3 11832 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
4240, 41syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
4342olcd 391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... i )  =  NN  \/  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) ) )
442adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
45 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ph )
46 fzossnn 11813 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ ( i  +  1 ) )  C_  NN
4742eleq2d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( n  e.  ( 1 ... i )  <->  n  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) ) )
4847biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... i
) )  ->  n  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
4946, 48sseldi 3437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... i
) )  ->  n  e.  NN )
5045, 49, 8syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( F `  n )  e.  S )
5137, 38, 43, 44, 50measiuns 28546 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( M `
 U_ n  e.  ( 1 ... i ) ( F `  n
) )  = Σ* n  e.  ( 1 ... i
) ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) ) )
52 ffn 5668 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> S  ->  F  Fn  NN )
537, 52syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
54 meascnbl.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5553, 54iuninc 27739 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... i
) ( F `  n )  =  ( F `  i ) )
5655fveq2d 5807 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( M `
 U_ n  e.  ( 1 ... i ) ( F `  n
) )  =  ( M `  ( F `
 i ) ) )
5751, 56eqtr3d 2443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  -> Σ* n  e.  (
1 ... i ) ( M `  ( ( F `  n ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) )  =  ( M `  ( F `
 i ) ) )
5857mpteq2dva 4478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |-> Σ* n  e.  ( 1 ... i
) ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( M `  ( F `
 i ) ) ) )
5936, 58eqtr4d 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  o.  F
)  =  ( i  e.  NN  |-> Σ* n  e.  (
1 ... i ) ( M `  ( ( F `  n ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) ) ) )
608ralrimiva 2815 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  S )
61 dfiun2g 4300 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  S  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
6260, 61syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
63 fnrnfv 5849 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN  ->  ran  F  =  { x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
6453, 63syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  {
x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
6564unieqd 4198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  F  = 
U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
6662, 65eqtr4d 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
6766fveq2d 5807 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( F `  n ) )  =  ( M `  U. ran  F ) )
68 eqidd 2401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN  =  NN )
6968orcd 390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( NN  =  NN  \/  NN  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) ) )
7037, 38, 69, 2, 8measiuns 28546 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( F `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( M `
 ( ( F `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( F `  k ) ) ) )
7167, 70eqtr3d 2443 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  U. ran  F )  = Σ* n  e.  NN ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) ) )
7232, 59, 713brtr4d 4422 1  |-  ( ph  ->  ( M  o.  F
) ( ~~> t `  J ) ( M `
 U. ran  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   {cab 2385   A.wral 2751   E.wrex 2752    \ cdif 3408    C_ wss 3411   U.cuni 4188   U_ciun 4268   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ran crn 4941    o. ccom 4944    Fn wfn 5518   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443   +oocpnf 9573   NNcn 10494   ZZcz 10823   [,]cicc 11501   ...cfz 11641  ..^cfzo 11765   ↾s cress 14732   TopOpenctopn 14926   RR*scxrs 15004   ~~> tclm 19910  Σ*cesum 28355  sigAlgebracsiga 28436  measurescmeas 28524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-ac2 8793  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-disj 4364  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-acn 8273  df-ac 8447  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-fac 12306  df-bc 12333  df-hash 12358  df-shft 12954  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-limsup 13348  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-ef 13902  df-sin 13904  df-cos 13905  df-pi 13907  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-rest 14927  df-topn 14928  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-topgen 14948  df-pt 14949  df-prds 14952  df-ordt 15005  df-xrs 15006  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-xps 15014  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-ps 16044  df-tsr 16045  df-plusf 16085  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-mulg 16274  df-subg 16412  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-subrg 17637  df-abv 17676  df-lmod 17724  df-scaf 17725  df-sra 18028  df-rgmod 18029  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-fbas 18626  df-fg 18627  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cld 19702  df-ntr 19703  df-cls 19704  df-nei 19782  df-lp 19820  df-perf 19821  df-cn 19911  df-cnp 19912  df-lm 19913  df-haus 19999  df-tx 20245  df-hmeo 20438  df-fil 20529  df-fm 20621  df-flim 20622  df-flf 20623  df-tmd 20753  df-tgp 20754  df-tsms 20807  df-trg 20844  df-xms 21005  df-ms 21006  df-tms 21007  df-nm 21285  df-ngp 21286  df-nrg 21288  df-nlm 21289  df-ii 21563  df-cncf 21564  df-limc 22452  df-dv 22453  df-log 23126  df-esum 28356  df-siga 28437  df-meas 28525
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  28803
  Copyright terms: Public domain W3C validator