Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meascnbl Structured version   Unicode version

Theorem meascnbl 26798
Description: A measure is continuous from below. Cf. volsup 21173. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
meascnbl.0  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
meascnbl.1  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
meascnbl.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> S )
meascnbl.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
meascnbl  |-  ( ph  ->  ( M  o.  F
) ( ~~> t `  J ) ( M `
 U. ran  F
) )
Distinct variable groups:    n, F    n, J    n, M    S, n    ph, n

Proof of Theorem meascnbl
Dummy variables  i 
k  o  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meascnbl.0 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 meascnbl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
4 measbase 26776 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
52, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  e. 
U. ran sigAlgebra )
7 meascnbl.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> S )
87ffvelrnda 5955 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  S )
9 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ph )
10 fzossnn 11714 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
11 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  k  e.  ( 1..^ n ) )
1210, 11sseldi 3465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  k  e.  NN )
137ffvelrnda 5955 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  S )
149, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
1514ralrimiva 2830 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  e.  S )
16 sigaclfu2 26729 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k )  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  e.  S )
176, 15, 16syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  e.  S )
18 difelsiga 26741 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( F `  n )  e.  S  /\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k )  e.  S )  ->  (
( F `  n
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
) )  e.  S
)
196, 8, 17, 18syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) )  e.  S )
20 measvxrge0 26784 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) )  e.  S )  ->  ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
213, 19, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( ( F `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( F `  k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
22 fveq2 5802 . . . . 5  |-  ( n  =  o  ->  ( F `  n )  =  ( F `  o ) )
23 oveq2 6211 . . . . . 6  |-  ( n  =  o  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ o ) )
2423iuneq1d 4306 . . . . 5  |-  ( n  =  o  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  =  U_ k  e.  ( 1..^ o ) ( F `  k
) )
2522, 24difeq12d 3586 . . . 4  |-  ( n  =  o  ->  (
( F `  n
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
) )  =  ( ( F `  o
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ o ) ( F `  k
) ) )
2625fveq2d 5806 . . 3  |-  ( n  =  o  ->  ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) )  =  ( M `  ( ( F `  o ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ o ) ( F `  k ) ) ) )
27 fveq2 5802 . . . . 5  |-  ( n  =  p  ->  ( F `  n )  =  ( F `  p ) )
28 oveq2 6211 . . . . . 6  |-  ( n  =  p  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ p ) )
2928iuneq1d 4306 . . . . 5  |-  ( n  =  p  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
)  =  U_ k  e.  ( 1..^ p ) ( F `  k
) )
3027, 29difeq12d 3586 . . . 4  |-  ( n  =  p  ->  (
( F `  n
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k
) )  =  ( ( F `  p
)  \  U_ k  e.  ( 1..^ p ) ( F `  k
) ) )
3130fveq2d 5806 . . 3  |-  ( n  =  p  ->  ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) )  =  ( M `  ( ( F `  p ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ p ) ( F `  k ) ) ) )
321, 21, 26, 31esumcvg2 26701 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |-> Σ* n  e.  ( 1 ... i
) ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) ) ) ( ~~> t `  J )Σ* n  e.  NN ( M `  ( ( F `  n ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) ) )
33 measfrge0 26782 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  M : S
--> ( 0 [,] +oo ) )
342, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
35 fcompt 5991 . . . 4  |-  ( ( M : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : NN --> S )  ->  ( M  o.  F )  =  ( i  e.  NN  |->  ( M `  ( F `
 i ) ) ) )
3634, 7, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  o.  F
)  =  ( i  e.  NN  |->  ( M `
 ( F `  i ) ) ) )
37 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ n
( F `  k
)
38 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
4039nnzd 10860 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ZZ )
41 fzval3 11725 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
4342olcd 393 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... i )  =  NN  \/  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) ) )
442adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
45 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ph )
46 fzossnn 11714 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ ( i  +  1 ) )  C_  NN
4742eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( n  e.  ( 1 ... i )  <->  n  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) ) )
4847biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... i
) )  ->  n  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
4946, 48sseldi 3465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... i
) )  ->  n  e.  NN )
5045, 49, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( F `  n )  e.  S )
5137, 38, 43, 44, 50measiuns 26796 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( M `
 U_ n  e.  ( 1 ... i ) ( F `  n
) )  = Σ* n  e.  ( 1 ... i
) ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) ) )
52 ffn 5670 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> S  ->  F  Fn  NN )
537, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
54 meascnbl.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5553, 54iuninc 26082 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... i
) ( F `  n )  =  ( F `  i ) )
5655fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( M `
 U_ n  e.  ( 1 ... i ) ( F `  n
) )  =  ( M `  ( F `
 i ) ) )
5751, 56eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  -> Σ* n  e.  (
1 ... i ) ( M `  ( ( F `  n ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) )  =  ( M `  ( F `
 i ) ) )
5857mpteq2dva 4489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |-> Σ* n  e.  ( 1 ... i
) ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( M `  ( F `
 i ) ) ) )
5936, 58eqtr4d 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  o.  F
)  =  ( i  e.  NN  |-> Σ* n  e.  (
1 ... i ) ( M `  ( ( F `  n ) 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `  k ) ) ) ) )
608ralrimiva 2830 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  S )
61 dfiun2g 4313 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  S  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
6260, 61syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
63 fnrnfv 5850 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN  ->  ran  F  =  { x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
6453, 63syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  {
x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
6564unieqd 4212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  F  = 
U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  ( F `  n ) } )
6662, 65eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
6766fveq2d 5806 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( F `  n ) )  =  ( M `  U. ran  F ) )
68 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN  =  NN )
6968orcd 392 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( NN  =  NN  \/  NN  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) ) )
7037, 38, 69, 2, 8measiuns 26796 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( F `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( M `
 ( ( F `
 n )  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) ( F `  k ) ) ) )
7167, 70eqtr3d 2497 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  U. ran  F )  = Σ* n  e.  NN ( M `  ( ( F `  n )  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) ( F `
 k ) ) ) )
7232, 59, 713brtr4d 4433 1  |-  ( ph  ->  ( M  o.  F
) ( ~~> t `  J ) ( M `
 U. ran  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799   E.wrex 2800    \ cdif 3436    C_ wss 3439   U.cuni 4202   U_ciun 4282   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ran crn 4952    o. ccom 4955    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399   +oocpnf 9529   NNcn 10436   ZZcz 10760   [,]cicc 11417   ...cfz 11557  ..^cfzo 11668   ↾s cress 14296   TopOpenctopn 14482   RR*scxrs 14560   ~~> tclm 18965  Σ*cesum 26648  sigAlgebracsiga 26715  measurescmeas 26774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-ac2 8746  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-ac 8400  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-shft 12677  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ef 13474  df-sin 13476  df-cos 13477  df-pi 13479  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-ordt 14561  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-ps 15492  df-tsr 15493  df-mnd 15537  df-plusf 15538  df-mhm 15586  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-subrg 16989  df-abv 17028  df-lmod 17076  df-scaf 17077  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-lm 18968  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-tmd 19778  df-tgp 19779  df-tsms 19832  df-trg 19869  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-nm 20310  df-ngp 20311  df-nrg 20313  df-nlm 20314  df-ii 20588  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478  df-log 22144  df-esum 26649  df-siga 26716  df-meas 26775
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  27024
  Copyright terms: Public domain W3C validator