Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measiun 29608
 Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiun.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measiun.2 (𝜑𝐴𝑆)
measiun.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝑆)
measiun.4 (𝜑𝐴 𝑛 ∈ ℕ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
measiun (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem measiun
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12127 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 measiun.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
3 measiun.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 measvxrge0 29595 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
52, 3, 4syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sseldi 3566 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
7 measbase 29587 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
82, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
9 measiun.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝑆)
109ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
11 sigaclcu2 29510 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
128, 10, 11syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
13 measvxrge0 29595 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
142, 12, 13syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
151, 14sseldi 3566 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ*)
16 nnex 10903 . . . 4 ℕ ∈ V
172adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
18 measvxrge0 29595 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1917, 9, 18syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2019ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21 nfcv 2751 . . . . 5 𝑛
2221esumcl 29419 . . . 4 ((ℕ ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2316, 20, 22sylancr 694 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
241, 23sseldi 3566 . 2 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
25 measiun.4 . . 3 (𝜑𝐴 𝑛 ∈ ℕ 𝐵)
262, 3, 12, 25measssd 29605 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵))
27 nfcsb1v 3515 . . . 4 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵
28 csbeq1a 3508 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑛𝐵)
29 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → ℕ = ℕ)
3029orcd 406 . . . 4 (𝜑 → (ℕ = ℕ ∨ ℕ = (1..^𝑚)))
3127, 28, 30, 2, 9measiuns 29607 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)))
3216a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
338adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ran sigAlgebra)
34 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
35 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘
3635nfel1 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑘 ∈ ℕ
3727nfel1 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵𝑆
3836, 37nfim 1813 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
3934, 38nfim 1813 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
40 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
4128eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑆𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4240, 41imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)))
4342imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆)) ↔ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))))
449ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆))
4539, 43, 44chvar 2250 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4645ralrimiv 2948 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
47 fzossnn 12384 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
48 ssralv 3629 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑛) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
50 sigaclfu2 29511 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
5149, 50sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
528, 46, 51syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
5352adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
54 difelsiga 29523 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆)
5533, 9, 53, 54syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 29595 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
5717, 55, 56syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
58 difssd 3700 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ⊆ 𝐵)
5917, 55, 9, 58measssd 29605 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ≤ (𝑀𝐵))
6032, 57, 19, 59esumle 29447 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
6131, 60eqbrtrd 4605 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
626, 15, 24, 26, 61xrletrd 11869 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  [,]cicc 12049  ..^cfzo 12334  Σ*cesum 29416  sigAlgebracsiga 29497  measurescmeas 29585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-tsms 21740  df-trg 21773  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-ii 22488  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-esum 29417  df-siga 29498  df-meas 29586 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator