Theorem 2pthon 26132

Description: A path of length 2 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2pthon	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem 2pthon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑖 ∈ V
2		vex 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑗 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V ∧ 𝑗 ∈ V)
4		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} = {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩}
5		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
6	3, 4, 5	constr2trl 26129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
7	6	3adant3 1074	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
8	7	imp 444	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
9		trliswlk 26069	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
11		c0ex 9913	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
12	11	jctl 562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
13	12	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
14		0ne1 10965	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
15		0ne2 11116	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 2
16	14, 15	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
17		fvtp1g 6368	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
18	13, 16, 17	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
19	18	3ad2ant2 1076	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
21		ax-1ne0 9884	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
22	21	nesymi 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 = 1
23	11, 1	opth1 4870	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑖⟩ = ⟨1, 𝑗⟩ → 0 = 1)
24	23	necon3bi 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 = 1 → ⟨0, 𝑖⟩ ≠ ⟨1, 𝑗⟩)
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑖⟩ ≠ ⟨1, 𝑗⟩
26		opex 4859	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 𝑖⟩ ∈ V
27		opex 4859	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 𝑗⟩ ∈ V
28		hashprgOLD 13044	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, 𝑖⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑗⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑖⟩ ≠ ⟨1, 𝑗⟩ ↔ (#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩}) = 2))
29	26, 27, 28	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 𝑖⟩ ≠ ⟨1, 𝑗⟩ ↔ (#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩}) = 2)
30	25, 29	mpbi 219	. . . . . 6 ⊢ (#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩}) = 2
31	30	fveq2i 6106	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2)
32		2z 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
33	32	jctl 562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
34	33	3ad2ant3 1077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
35		1ne2 11117	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
36	15, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
37		fvtp3g 6370	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2) = 𝐶)
38	34, 36, 37	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2) = 𝐶)
39	38	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2) = 𝐶)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2) = 𝐶)
41	31, 40	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩})) = 𝐶)
42		simpl1 1057	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌))
43		prex 4836	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V
44		tpex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V
45	43, 44	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V)
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V))
47		3simpb 1052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
48	47	3ad2ant2 1076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
50	42, 46, 49	3jca 1235	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)))
51		iswlkon 26062	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴 ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩})) = 𝐶)))
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴 ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩})) = 𝐶)))
53	10, 20, 41, 52	mpbir3and 1238	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
54	3, 4, 5	constr2pth 26131	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
55	54	imp 444	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
56		ispthon 26106	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∧ {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})))
57	50, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∧ {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})))
58	53, 55, 57	mpbir2and 959	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
59	58	ex 449	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ℤcz 11254  #chash 12979   Walks cwalk 26026   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028   WalkOn cwlkon 26030   PathOn cpthon 26032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-wlkon 26042  df-pthon 26044

This theorem is referenced by:  2pthoncl  26133