Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthon 26132
 Description: A path of length 2 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
2pthon (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem 2pthon
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ V
2 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ V ∧ 𝑗 ∈ V)
4 eqid 2610 . . . . . . . 8 {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} = {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩}
5 eqid 2610 . . . . . . . 8 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
63, 4, 5constr2trl 26129 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
763adant3 1074 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
87imp 444 . . . . 5 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
9 trliswlk 26069 . . . . 5 ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
108, 9syl 17 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
11 c0ex 9913 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1211jctl 562 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (0 ∈ V ∧ 𝐴𝑉))
13123ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (0 ∈ V ∧ 𝐴𝑉))
14 0ne1 10965 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
15 0ne2 11116 . . . . . . . 8 0 ≠ 2
1614, 15pm3.2i 470 . . . . . . 7 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
17 fvtp1g 6368 . . . . . . 7 (((0 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
1813, 16, 17sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
19183ad2ant2 1076 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
2019adantr 480 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
21 ax-1ne0 9884 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
2221nesymi 2839 . . . . . . . 8 ¬ 0 = 1
2311, 1opth1 4870 . . . . . . . . 9 (⟨0, 𝑖⟩ = ⟨1, 𝑗⟩ → 0 = 1)
2423necon3bi 2808 . . . . . . . 8 (¬ 0 = 1 → ⟨0, 𝑖⟩ ≠ ⟨1, 𝑗⟩)
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 ⟨0, 𝑖⟩ ≠ ⟨1, 𝑗
26 opex 4859 . . . . . . . 8 ⟨0, 𝑖⟩ ∈ V
27 opex 4859 . . . . . . . 8 ⟨1, 𝑗⟩ ∈ V
28 hashprgOLD 13044 . . . . . . . 8 ((⟨0, 𝑖⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑗⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑖⟩ ≠ ⟨1, 𝑗⟩ ↔ (#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩}) = 2))
2926, 27, 28mp2an 704 . . . . . . 7 (⟨0, 𝑖⟩ ≠ ⟨1, 𝑗⟩ ↔ (#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩}) = 2)
3025, 29mpbi 219 . . . . . 6 (#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩}) = 2
3130fveq2i 6106 . . . . 5 ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2)
32 2z 11286 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
3332jctl 562 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑉 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑉))
34333ad2ant3 1077 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑉))
35 1ne2 11117 . . . . . . . . 9 1 ≠ 2
3615, 35pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
37 fvtp3g 6370 . . . . . . . 8 (((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑉) ∧ (0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2) = 𝐶)
3834, 36, 37sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2) = 𝐶)
39383ad2ant2 1076 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2) = 𝐶)
4039adantr 480 . . . . 5 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘2) = 𝐶)
4131, 40syl5eq 2656 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩})) = 𝐶)
42 simpl1 1057 . . . . . 6 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → (𝑉𝑋𝐸𝑌))
43 prex 4836 . . . . . . . 8 {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V
44 tpex 6855 . . . . . . . 8 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V
4543, 44pm3.2i 470 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V)
4645a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V))
47 3simpb 1052 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
48473ad2ant2 1076 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
4948adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
5042, 46, 493jca 1235 . . . . 5 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)))
51 iswlkon 26062 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴 ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩})) = 𝐶)))
5250, 51syl 17 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴 ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩})) = 𝐶)))
5310, 20, 41, 52mpbir3and 1238 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
543, 4, 5constr2pth 26131 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
5554imp 444 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
56 ispthon 26106 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∧ {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})))
5750, 56syl 17 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∧ {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})))
5853, 55, 57mpbir2and 959 . 2 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
5958ex 449 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑖𝑗 ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ℤcz 11254  #chash 12979   Walks cwalk 26026   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028   WalkOn cwlkon 26030   PathOn cpthon 26032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-wlkon 26042  df-pthon 26044 This theorem is referenced by:  2pthoncl  26133
 Copyright terms: Public domain W3C validator