Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr2trl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr2trl 26129
 Description: Construction of a trail from two given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlY.i (𝐼𝑈𝐽𝑊)
2trlY.f 𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}
2trlY.p 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
Assertion
Ref Expression
constr2trl (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃))

Proof of Theorem constr2trl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝐵𝑉) → 𝑉𝑋)
2 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝐸𝑌)
32adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝐵𝑉) → 𝐸𝑌)
4 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
51, 3, 43jca 1235 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝐵𝑉) → (𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉))
65adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝐵𝑉) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉))
7 simpr1 1060 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝐵𝑉) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐼𝐽)
8 3simpc 1053 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
98adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝐵𝑉) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
10 2trlY.i . . . . . . . 8 (𝐼𝑈𝐽𝑊)
11 2trlY.f . . . . . . . 8 𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}
1210, 112trllemE 26083 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
136, 7, 9, 12syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝐵𝑉) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
1413ex 449 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
15143ad2antr2 1220 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
1615imp 444 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
17 2trlY.p . . . . . . 7 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
18172trllemG 26088 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃:(0...2)⟶𝑉)
1910, 112trllemA 26080 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = 2
2019oveq2i 6560 . . . . . . 7 (0...(#‘𝐹)) = (0...2)
2120feq2i 5950 . . . . . 6 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃:(0...2)⟶𝑉)
2218, 21sylibr 223 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
2322adantl 481 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
2423adantr 480 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
2510, 11, 172wlklem1 26127 . . . . 5 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
268, 25sylan2 490 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
2710, 112trllemB 26081 . . . . . 6 (0..^(#‘𝐹)) = {0, 1}
2827a1i 11 . . . . 5 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (0..^(#‘𝐹)) = {0, 1})
2928raleqdv 3121 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
3026, 29mpbird 246 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
31 prex 4836 . . . . . . 7 {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} ∈ V
3211, 31eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
33 tpex 6855 . . . . . . 7 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V
3417, 33eqeltri 2684 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
35 istrl2 26068 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
3632, 34, 35mpanr12 717 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
3736adantr 480 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
3837adantr 480 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
3916, 24, 30, 38mpbir3and 1238 . 2 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)
4039ex 449 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979   Trails ctrail 26027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037 This theorem is referenced by:  constr2spth  26130  constr2pth  26131  2pthon  26132
 Copyright terms: Public domain W3C validator