MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemG Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2trllemG 26088
Description: Lemma 7 for constr2trl 26129. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2trlX.p 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
Assertion
Ref Expression
2trllemG ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃:(0...2)⟶𝑉)

Proof of Theorem 2trllemG
StepHypRef Expression
1 0z 11265 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 1z 11284 . . . 4 1 ∈ ℤ
3 2z 11286 . . . 4 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1232 . . 3 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0ne1 10965 . . . 4 0 ≠ 1
6 0ne2 11116 . . . 4 0 ≠ 2
7 1ne2 11117 . . . 4 1 ≠ 2
85, 6, 73pm3.2i 1232 . . 3 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
9 ftpg 6328 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}:{0, 1, 2}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
10 2trlX.p . . . . 5 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
1110feq1i 5949 . . . 4 (𝑃:{0, 1, 2}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}:{0, 1, 2}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
129, 11sylibr 223 . . 3 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → 𝑃:{0, 1, 2}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
134, 8, 12mp3an13 1407 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃:{0, 1, 2}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
14 tpssi 4309 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
15 fss 5969 . . 3 ((𝑃:{0, 1, 2}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉) → 𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉)
16 fz0tp 12309 . . . . 5 (0...2) = {0, 1, 2}
1716a1i 11 . . . 4 ((𝑃:{0, 1, 2}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉) → (0...2) = {0, 1, 2})
1817feq2d 5944 . . 3 ((𝑃:{0, 1, 2}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉) → (𝑃:(0...2)⟶𝑉𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉))
1915, 18mpbird 246 . 2 ((𝑃:{0, 1, 2}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉) → 𝑃:(0...2)⟶𝑉)
2013, 14, 19syl2anc 691 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃:(0...2)⟶𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wss 3540  {ctp 4129  cop 4131  wf 5800  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  cz 11254  ...cfz 12197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198
This theorem is referenced by:  wlkntrl  26092  constr2wlk  26128  constr2trl  26129
  Copyright terms: Public domain W3C validator