MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemG Structured version   Unicode version

Theorem 2trllemG 23408
Description: Lemma 7 for constr2trl 23449. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2trlX.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
2trllemG  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Proof of Theorem 2trllemG
StepHypRef Expression
1 0z 10649 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10668 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
3 2z 10670 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
41, 2, 33pm3.2i 1166 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
5 0ne1 10381 . . . 4  |-  0  =/=  1
6 0ne2 10525 . . . 4  |-  0  =/=  2
7 1ne2 10526 . . . 4  |-  1  =/=  2
85, 6, 73pm3.2i 1166 . . 3  |-  ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )
9 ftpg 5887 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }
)
10 2trlX.p . . . . 5  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
1110feq1i 5546 . . . 4  |-  ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } : {
0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }
)
129, 11sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 ) )  ->  P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C } )
134, 8, 12mp3an13 1305 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }
)
14 tpssi 4034 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { A ,  B ,  C }  C_  V
)
15 fss 5562 . . 3  |-  ( ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  /\  { A ,  B ,  C }  C_  V
)  ->  P : { 0 ,  1 ,  2 } --> V )
16 fz0tp 11505 . . . . 5  |-  ( 0 ... 2 )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  /\  { A ,  B ,  C }  C_  V
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1817feq2d 5542 . . 3  |-  ( ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  /\  { A ,  B ,  C }  C_  V
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  <->  P : { 0 ,  1 ,  2 } --> V ) )
1915, 18mpbird 232 . 2  |-  ( ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  /\  { A ,  B ,  C }  C_  V
)  ->  P :
( 0 ... 2
) --> V )
2013, 14, 19syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601    C_ wss 3323   {ctp 3876   <.cop 3878   -->wf 5409  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   2c2 10363   ZZcz 10638   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  wlkntrl  23412  constr2wlk  23448  constr2trl  23449
  Copyright terms: Public domain W3C validator