Theorem 2trllemG 23629

Description: Lemma 7 for constr2trl 23670. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
2trlX.p	|- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. }

Assertion

Ref	Expression
2trllemG	|- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Proof of Theorem 2trllemG

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 10771	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		1z 10790	. . . 4 |- 1 e. ZZ
3		2z 10792	. . . 4 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1166	. . 3 |- ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0ne1 10503	. . . 4 |- 0 =/= 1
6		0ne2 10647	. . . 4 |- 0 =/= 2
7		1ne2 10648	. . . 4 |- 1 =/= 2
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1166	. . 3 |- ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 )
9		ftpg 6004	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 ) ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
10		2trlX.p	. . . . 5 |- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. }
11	10	feq1i 5662	. . . 4 |- ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } <-> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
12	9, 11	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 ) ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
13	4, 8, 12	mp3an13 1306	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
14		tpssi 4150	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> { A , B , C } C_ V )
15		fss 5678	. . 3 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> V )
16		fz0tp 11633	. . . . 5 |- ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 }
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 } )
18	17	feq2d 5658	. . 3 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V <-> P : { 0 , 1 , 2 } --> V ) )
19	15, 18	mpbird 232	. 2 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
20	13, 14, 19	syl2anc 661	1 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   C_ wss 3439   {ctp 3992   <.cop 3994   -->wf 5525  (class class class)co 6203   0cc0 9396   1c1 9397   2c2 10485   ZZcz 10760   ...cfz 11557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558

This theorem is referenced by:  wlkntrl  23633  constr2wlk  23669  constr2trl  23670