Theorem 2trllemG 25337

Description: Lemma 7 for constr2trl 25378. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
2trlX.p	|- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. }

Assertion

Ref	Expression
2trllemG	|- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Proof of Theorem 2trllemG

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 10977	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		1z 10996	. . . 4 |- 1 e. ZZ
3		2z 10998	. . . 4 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1192	. . 3 |- ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0ne1 10705	. . . 4 |- 0 =/= 1
6		0ne2 10850	. . . 4 |- 0 =/= 2
7		1ne2 10851	. . . 4 |- 1 =/= 2
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1192	. . 3 |- ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 )
9		ftpg 6098	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 ) ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
10		2trlX.p	. . . . 5 |- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. }
11	10	feq1i 5742	. . . 4 |- ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } <-> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
12	9, 11	sylibr 217	. . 3 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 ) ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
13	4, 8, 12	mp3an13 1364	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
14		tpssi 4151	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> { A , B , C } C_ V )
15		fss 5760	. . 3 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> V )
16		fz0tp 11922	. . . . 5 |- ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 }
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 } )
18	17	feq2d 5737	. . 3 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V <-> P : { 0 , 1 , 2 } --> V ) )
19	15, 18	mpbird 240	. 2 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
20	13, 14, 19	syl2anc 671	1 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   C_ wss 3416   {ctp 3984   <.cop 3986   -->wf 5597  (class class class)co 6315   0cc0 9565   1c1 9566   2c2 10687   ZZcz 10966   ...cfz 11813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814

This theorem is referenced by:  wlkntrl  25341  constr2wlk  25377  constr2trl  25378