MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemG Structured version   Unicode version

Theorem 2trllemG 24859
Description: Lemma 7 for constr2trl 24900. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2trlX.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
2trllemG  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Proof of Theorem 2trllemG
StepHypRef Expression
1 0z 10834 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10853 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
3 2z 10855 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
41, 2, 33pm3.2i 1173 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
5 0ne1 10562 . . . 4  |-  0  =/=  1
6 0ne2 10706 . . . 4  |-  0  =/=  2
7 1ne2 10707 . . . 4  |-  1  =/=  2
85, 6, 73pm3.2i 1173 . . 3  |-  ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )
9 ftpg 6015 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }
)
10 2trlX.p . . . . 5  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
1110feq1i 5660 . . . 4  |-  ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } : {
0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }
)
129, 11sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 ) )  ->  P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C } )
134, 8, 12mp3an13 1315 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }
)
14 tpssi 4135 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { A ,  B ,  C }  C_  V
)
15 fss 5676 . . 3  |-  ( ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  /\  { A ,  B ,  C }  C_  V
)  ->  P : { 0 ,  1 ,  2 } --> V )
16 fz0tp 11747 . . . . 5  |-  ( 0 ... 2 )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  /\  { A ,  B ,  C }  C_  V
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1817feq2d 5655 . . 3  |-  ( ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  /\  { A ,  B ,  C }  C_  V
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  <->  P : { 0 ,  1 ,  2 } --> V ) )
1915, 18mpbird 232 . 2  |-  ( ( P : { 0 ,  1 ,  2 } --> { A ,  B ,  C }  /\  { A ,  B ,  C }  C_  V
)  ->  P :
( 0 ... 2
) --> V )
2013, 14, 19syl2anc 659 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596    C_ wss 3411   {ctp 3973   <.cop 3975   -->wf 5519  (class class class)co 6232   0cc0 9440   1c1 9441   2c2 10544   ZZcz 10823   ...cfz 11641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642
This theorem is referenced by:  wlkntrl  24863  constr2wlk  24899  constr2trl  24900
  Copyright terms: Public domain W3C validator