Theorem 2trllemG 23408

Description: Lemma 7 for constr2trl 23449. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
2trlX.p	|- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. }

Assertion

Ref	Expression
2trllemG	|- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Proof of Theorem 2trllemG

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 10649	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		1z 10668	. . . 4 |- 1 e. ZZ
3		2z 10670	. . . 4 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1166	. . 3 |- ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0ne1 10381	. . . 4 |- 0 =/= 1
6		0ne2 10525	. . . 4 |- 0 =/= 2
7		1ne2 10526	. . . 4 |- 1 =/= 2
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1166	. . 3 |- ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 )
9		ftpg 5887	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 ) ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
10		2trlX.p	. . . . 5 |- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. }
11	10	feq1i 5546	. . . 4 |- ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } <-> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
12	9, 11	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 ) ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
13	4, 8, 12	mp3an13 1305	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
14		tpssi 4034	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> { A , B , C } C_ V )
15		fss 5562	. . 3 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> V )
16		fz0tp 11505	. . . . 5 |- ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 }
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 } )
18	17	feq2d 5542	. . 3 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V <-> P : { 0 , 1 , 2 } --> V ) )
19	15, 18	mpbird 232	. 2 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
20	13, 14, 19	syl2anc 661	1 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   C_ wss 3323   {ctp 3876   <.cop 3878   -->wf 5409  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   2c2 10363   ZZcz 10638   ...cfz 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430

This theorem is referenced by:  wlkntrl  23412  constr2wlk  23448  constr2trl  23449