Theorem 2trllemG 24859

Description: Lemma 7 for constr2trl 24900. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
2trlX.p	|- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. }

Assertion

Ref	Expression
2trllemG	|- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Proof of Theorem 2trllemG

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 10834	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		1z 10853	. . . 4 |- 1 e. ZZ
3		2z 10855	. . . 4 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1173	. . 3 |- ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0ne1 10562	. . . 4 |- 0 =/= 1
6		0ne2 10706	. . . 4 |- 0 =/= 2
7		1ne2 10707	. . . 4 |- 1 =/= 2
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1173	. . 3 |- ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 )
9		ftpg 6015	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 ) ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
10		2trlX.p	. . . . 5 |- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. }
11	10	feq1i 5660	. . . 4 |- ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } <-> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
12	9, 11	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 ) ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
13	4, 8, 12	mp3an13 1315	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } )
14		tpssi 4135	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> { A , B , C } C_ V )
15		fss 5676	. . 3 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> P : { 0 , 1 , 2 } --> V )
16		fz0tp 11747	. . . . 5 |- ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 }
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 } )
18	17	feq2d 5655	. . 3 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V <-> P : { 0 , 1 , 2 } --> V ) )
19	15, 18	mpbird 232	. 2 |- ( ( P : { 0 , 1 , 2 } --> { A , B , C } /\ { A , B , C } C_ V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
20	13, 14, 19	syl2anc 659	1 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 972   = wceq 1403   e. wcel 1840   =/= wne 2596   C_ wss 3411   {ctp 3973   <.cop 3975   -->wf 5519  (class class class)co 6232   0cc0 9440   1c1 9441   2c2 10544   ZZcz 10823   ...cfz 11641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642

This theorem is referenced by:  wlkntrl  24863  constr2wlk  24899  constr2trl  24900