Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkntrllem1 26089
 Description: Lemma 1 for wlkntrl 26092: F is a word over {0}, the domain of E. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v 𝑉 = {𝑥, 𝑦}
wlkntrl.e 𝐸 = {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}
wlkntrl.f 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
wlkntrl.p 𝑃 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem1 𝐹 ∈ Word dom 𝐸

Proof of Theorem wlkntrllem1
StepHypRef Expression
1 0ne1 10965 . . . . 5 0 ≠ 1
2 c0ex 9913 . . . . . 6 0 ∈ V
3 1ex 9914 . . . . . 6 1 ∈ V
42, 3, 2, 2fpr 6326 . . . . 5 (0 ≠ 1 → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}:{0, 1}⟶{0, 0})
51, 4ax-mp 5 . . . 4 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}:{0, 1}⟶{0, 0}
6 wlkntrl.f . . . . . . 7 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
76eqcomi 2619 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = 𝐹
87feq1i 5949 . . . . 5 ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}:{0, 1}⟶{0, 0} ↔ 𝐹:{0, 1}⟶{0, 0})
9 fzo0to2pr 12420 . . . . . . 7 (0..^2) = {0, 1}
109eqcomi 2619 . . . . . 6 {0, 1} = (0..^2)
11 dfsn2 4138 . . . . . . 7 {0} = {0, 0}
1211eqcomi 2619 . . . . . 6 {0, 0} = {0}
1310, 12feq23i 5952 . . . . 5 (𝐹:{0, 1}⟶{0, 0} ↔ 𝐹:(0..^2)⟶{0})
148, 13bitri 263 . . . 4 ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}:{0, 1}⟶{0, 0} ↔ 𝐹:(0..^2)⟶{0})
155, 14mpbi 219 . . 3 𝐹:(0..^2)⟶{0}
16 iswrdi 13164 . . 3 (𝐹:(0..^2)⟶{0} → 𝐹 ∈ Word {0})
1715, 16ax-mp 5 . 2 𝐹 ∈ Word {0}
18 wlkntrl.e . . . . 5 𝐸 = {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}
1918dmeqi 5247 . . . 4 dom 𝐸 = dom {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}
20 zfpair2 4834 . . . . 5 {𝑥, 𝑦} ∈ V
2120dmsnop 5527 . . . 4 dom {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩} = {0}
2219, 21eqtri 2632 . . 3 dom 𝐸 = {0}
23 wrdeq 13182 . . 3 (dom 𝐸 = {0} → Word dom 𝐸 = Word {0})
2422, 23ax-mp 5 . 2 Word dom 𝐸 = Word {0}
2517, 24eleqtrri 2687 1 𝐹 ∈ Word dom 𝐸
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ..^cfzo 12334  Word cword 13146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154 This theorem is referenced by:  wlkntrl  26092
 Copyright terms: Public domain W3C validator