Theorem wlkntrllem1 26089

Description: Lemma 1 for wlkntrl 26092: F is a word over {0}, the domain of E. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkntrl.v	⊢ 𝑉 = {𝑥, 𝑦}
wlkntrl.e	⊢ 𝐸 = {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}
wlkntrl.f	⊢ 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
wlkntrl.p	⊢ 𝑃 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}

Assertion

Ref	Expression
wlkntrllem1	⊢ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸

Proof of Theorem wlkntrllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 10965	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
2		c0ex 9913	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
3		1ex 9914	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3, 2, 2	fpr 6326	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}:{0, 1}⟶{0, 0})
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}:{0, 1}⟶{0, 0}
6		wlkntrl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
7	6	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = 𝐹
8	7	feq1i 5949	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}:{0, 1}⟶{0, 0} ↔ 𝐹:{0, 1}⟶{0, 0})
9		fzo0to2pr 12420	. . . . . . 7 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10	9	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = (0..^2)
11		dfsn2 4138	. . . . . . 7 ⊢ {0} = {0, 0}
12	11	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ {0, 0} = {0}
13	10, 12	feq23i 5952	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{0, 1}⟶{0, 0} ↔ 𝐹:(0..^2)⟶{0})
14	8, 13	bitri 263	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}:{0, 1}⟶{0, 0} ↔ 𝐹:(0..^2)⟶{0})
15	5, 14	mpbi 219	. . 3 ⊢ 𝐹:(0..^2)⟶{0}
16		iswrdi 13164	. . 3 ⊢ (𝐹:(0..^2)⟶{0} → 𝐹 ∈ Word {0})
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ Word {0}
18		wlkntrl.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}
19	18	dmeqi 5247	. . . 4 ⊢ dom 𝐸 = dom {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}
20		zfpair2 4834	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
21	20	dmsnop 5527	. . . 4 ⊢ dom {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩} = {0}
22	19, 21	eqtri 2632	. . 3 ⊢ dom 𝐸 = {0}
23		wrdeq 13182	. . 3 ⊢ (dom 𝐸 = {0} → Word dom 𝐸 = Word {0})
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ Word dom 𝐸 = Word {0}
25	17, 24	eleqtrri 2687	1 ⊢ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ..^cfzo 12334  Word cword 13146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154

This theorem is referenced by:  wlkntrl  26092