Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlklem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlklem1 26127
 Description: Lemma 1 for constr2wlk 26128. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlY.i (𝐼𝑈𝐽𝑊)
2trlY.f 𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}
2trlY.p 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
Assertion
Ref Expression
2wlklem1 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 2wlklem1
StepHypRef Expression
1 simprl 790 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵})
2 2trlY.f . . . . 5 𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}
3 fveq1 6102 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} → (𝐹‘0) = ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}‘0))
4 0ne1 10965 . . . . . . 7 0 ≠ 1
5 c0ex 9913 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6 2trlY.i . . . . . . . . 9 (𝐼𝑈𝐽𝑊)
7 elex 3185 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑈𝐼 ∈ V)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑈𝐽𝑊) → 𝐼 ∈ V)
96, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
105, 9fvpr1 6361 . . . . . . 7 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}‘0) = 𝐼)
114, 10ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}‘0) = 𝐼
123, 11syl6eq 2660 . . . . 5 (𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} → (𝐹‘0) = 𝐼)
132, 12mp1i 13 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐹‘0) = 𝐼)
1413fveq2d 6107 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐸‘(𝐹‘0)) = (𝐸𝐼))
15 2trlY.p . . . . . . 7 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
16152wlklemA 26084 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
17163ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
1817ad2antlr 759 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝑃‘0) = 𝐴)
19152wlklemB 26085 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝑃‘1) = 𝐵)
20193ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃‘1) = 𝐵)
2120ad2antlr 759 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝑃‘1) = 𝐵)
2218, 21preq12d 4220 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
231, 14, 223eqtr4d 2654 . 2 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
24 simprr 792 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})
25 fveq1 6102 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} → (𝐹‘1) = ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}‘1))
26 1ex 9914 . . . . . . . 8 1 ∈ V
27 elex 3185 . . . . . . . . . 10 (𝐽𝑊𝐽 ∈ V)
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑈𝐽𝑊) → 𝐽 ∈ V)
296, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
3026, 29fvpr2 6362 . . . . . . 7 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}‘1) = 𝐽)
314, 30ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}‘1) = 𝐽
3225, 31syl6eq 2660 . . . . 5 (𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} → (𝐹‘1) = 𝐽)
332, 32mp1i 13 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐹‘1) = 𝐽)
3433fveq2d 6107 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐸‘(𝐹‘1)) = (𝐸𝐽))
35152wlklemC 26086 . . . . . 6 (𝐶𝑉 → (𝑃‘2) = 𝐶)
36353ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃‘2) = 𝐶)
3736ad2antlr 759 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝑃‘2) = 𝐶)
3821, 37preq12d 4220 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
3924, 34, 383eqtr4d 2654 . 2 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
40 2wlklem 26094 . 2 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
4123, 39, 40sylanbrc 695 1 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-z 11255 This theorem is referenced by:  constr2wlk  26128  constr2trl  26129
 Copyright terms: Public domain W3C validator