Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthlem2 26126
 Description: Lemma 2 for constr2pth 26131. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2pth.p 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
Assertion
Ref Expression
2pthlem2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ (𝑃 “ (1..^2))) = ∅)

Proof of Theorem 2pthlem2
StepHypRef Expression
1 2pth.p . . . . . . 7 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
212trllemD 26087 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃 Fn {0, 1, 2})
3 1ex 9914 . . . . . . 7 1 ∈ V
43tpid2 4247 . . . . . 6 1 ∈ {0, 1, 2}
5 fnsnfv 6168 . . . . . 6 ((𝑃 Fn {0, 1, 2} ∧ 1 ∈ {0, 1, 2}) → {(𝑃‘1)} = (𝑃 “ {1}))
62, 4, 5sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {(𝑃‘1)} = (𝑃 “ {1}))
7 fzo12sn 12418 . . . . . 6 (1..^2) = {1}
87imaeq2i 5383 . . . . 5 (𝑃 “ (1..^2)) = (𝑃 “ {1})
96, 8syl6reqr 2663 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃 “ (1..^2)) = {(𝑃‘1)})
109ineq2d 3776 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ (𝑃 “ (1..^2))) = ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ {(𝑃‘1)}))
1110adantr 480 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ (𝑃 “ (1..^2))) = ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ {(𝑃‘1)}))
12 c0ex 9913 . . . . . . 7 0 ∈ V
1312tpid1 4246 . . . . . 6 0 ∈ {0, 1, 2}
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 0 ∈ {0, 1, 2})
15 2ex 10969 . . . . . . 7 2 ∈ V
1615tpid3 4250 . . . . . 6 2 ∈ {0, 1, 2}
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 2 ∈ {0, 1, 2})
18 fnimapr 6172 . . . . 5 ((𝑃 Fn {0, 1, 2} ∧ 0 ∈ {0, 1, 2} ∧ 2 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑃 “ {0, 2}) = {(𝑃‘0), (𝑃‘2)})
192, 14, 17, 18syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃 “ {0, 2}) = {(𝑃‘0), (𝑃‘2)})
2019ineq1d 3775 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ {(𝑃‘1)}) = ({(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∩ {(𝑃‘1)}))
2120adantr 480 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ {(𝑃‘1)}) = ({(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∩ {(𝑃‘1)}))
2212wlklemA 26084 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
23223ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
2412wlklemC 26086 . . . . . 6 (𝐶𝑉 → (𝑃‘2) = 𝐶)
25243ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃‘2) = 𝐶)
2623, 25preq12d 4220 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {(𝑃‘0), (𝑃‘2)} = {𝐴, 𝐶})
2712wlklemB 26085 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝑃‘1) = 𝐵)
28273ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃‘1) = 𝐵)
2928sneqd 4137 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {(𝑃‘1)} = {𝐵})
3026, 29ineq12d 3777 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∩ {(𝑃‘1)}) = ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐵}))
31 elpri 4145 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐶} → (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐶))
32 nne 2786 . . . . . . . . . 10 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
3332biimpri 217 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
3433eqcoms 2618 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
35 nne 2786 . . . . . . . . 9 𝐵𝐶𝐵 = 𝐶)
3635biimpri 217 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐵𝐶)
3734, 36orim12i 537 . . . . . . 7 ((𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐶) → (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶))
3831, 37syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐶} → (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶))
39 ianor 508 . . . . . 6 (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶))
4038, 39sylibr 223 . . . . 5 (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐶} → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
4140con2i 133 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐶})
42 disjsn 4192 . . . 4 (({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐶})
4341, 42sylibr 223 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
4430, 43sylan9eq 2664 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∩ {(𝑃‘1)}) = ∅)
4511, 21, 443eqtrd 2648 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ (𝑃 “ (1..^2))) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ..^cfzo 12334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335 This theorem is referenced by:  constr2pth  26131
 Copyright terms: Public domain W3C validator