Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr2pth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr2pth 26131
 Description: A path of length 2 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlY.i (𝐼𝑈𝐽𝑊)
2trlY.f 𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}
2trlY.p 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
Assertion
Ref Expression
constr2pth (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃))

Proof of Theorem constr2pth
StepHypRef Expression
1 2trlY.i . . . . . 6 (𝐼𝑈𝐽𝑊)
2 2trlY.f . . . . . 6 𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}
3 2trlY.p . . . . . 6 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
41, 2, 3constr2trl 26129 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃))
543adant3 1074 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃))
65imp 444 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)
732pthlem1 26125 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → Fun (𝑃 ↾ (1..^2)))
81, 22trllemA 26080 . . . . . . 7 (#‘𝐹) = 2
9 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) = 2 → (1..^(#‘𝐹)) = (1..^2))
109reseq2d 5317 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = (𝑃 ↾ (1..^2)))
1110cnveqd 5220 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = (𝑃 ↾ (1..^2)))
1211funeqd 5825 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) = 2 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ↔ Fun (𝑃 ↾ (1..^2))))
138, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ↔ Fun (𝑃 ↾ (1..^2)))
147, 13sylibr 223 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
15143ad2ant2 1076 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
1615adantr 480 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
1732pthlem2 26126 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ (𝑃 “ (1..^2))) = ∅)
18 preq2 4213 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) = 2 → {0, (#‘𝐹)} = {0, 2})
1918imaeq2d 5385 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) = (𝑃 “ {0, 2}))
209imaeq2d 5385 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) = (𝑃 “ (1..^2)))
2119, 20ineq12d 3777 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ (𝑃 “ (1..^2))))
2221eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) = 2 → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ (𝑃 “ (1..^2))) = ∅))
238, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃 “ {0, 2}) ∩ (𝑃 “ (1..^2))) = ∅)
2417, 23sylibr 223 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
25243adantr2 1214 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
26253adant1 1072 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
2726adantr 480 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
28 prex 4836 . . . . . . . . 9 {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} ∈ V
292, 28eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ V
30 tpex 6855 . . . . . . . . 9 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ∈ V
313, 30eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ V
3229, 31pm3.2i 470 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)
3332jctr 563 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
34333ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3534adantr 480 . . . 4 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
36 ispth 26098 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
3735, 36syl 17 . . 3 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
386, 16, 27, 37mpbir3and 1238 . 2 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃)
3938ex 449 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐼𝐽 ∧ (𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ..^cfzo 12334  #chash 12979   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038 This theorem is referenced by:  2pthon  26132
 Copyright terms: Public domain W3C validator