Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemE Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2trllemE 26083
 Description: Lemma 4 for constr2trl 26129. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlX.i (𝐼𝑈𝐽𝑊)
2trlX.f 𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}
Assertion
Ref Expression
2trllemE (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)

Proof of Theorem 2trllemE
StepHypRef Expression
1 c0ex 9913 . . . . . 6 0 ∈ V
2 2trlX.i . . . . . . 7 (𝐼𝑈𝐽𝑊)
32simpli 473 . . . . . 6 𝐼𝑈
41, 3pm3.2i 470 . . . . 5 (0 ∈ V ∧ 𝐼𝑈)
5 1ex 9914 . . . . . 6 1 ∈ V
62simpri 477 . . . . . 6 𝐽𝑊
75, 6pm3.2i 470 . . . . 5 (1 ∈ V ∧ 𝐽𝑊)
84, 7pm3.2i 470 . . . 4 ((0 ∈ V ∧ 𝐼𝑈) ∧ (1 ∈ V ∧ 𝐽𝑊))
9 simp2 1055 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐼𝐽)
10 0ne1 10965 . . . . 5 0 ≠ 1
119, 10jctil 558 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐼𝐽))
12 f1oprg 6093 . . . 4 (((0 ∈ V ∧ 𝐼𝑈) ∧ (1 ∈ V ∧ 𝐽𝑊)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐼𝐽) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
138, 11, 12mpsyl 66 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
14 f1of1 6049 . . . 4 ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽})
15 2trlX.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}
162, 152trllemB 26081 . . . . . . . . . 10 (0..^(#‘𝐹)) = {0, 1}
1716eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 {0, 1} = (0..^(#‘𝐹))
18 f1eq2 6010 . . . . . . . . 9 ({0, 1} = (0..^(#‘𝐹)) → ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝐼, 𝐽}))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝐼, 𝐽})
2019biimpi 205 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝐼, 𝐽})
2120adantr 480 . . . . . 6 (({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}))) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝐼, 𝐽})
22 2trllemF 26079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵𝑉) → 𝐼 ∈ dom 𝐸)
2322adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐵𝑉) → 𝐼 ∈ dom 𝐸)
24 prcom 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
2524eqeq2i 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐸𝐽) = {𝐶, 𝐵})
2625biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶} → (𝐸𝐽) = {𝐶, 𝐵})
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → (𝐸𝐽) = {𝐶, 𝐵})
28 2trllemF 26079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸𝐽) = {𝐶, 𝐵} ∧ 𝐵𝑉) → 𝐽 ∈ dom 𝐸)
2927, 28sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐵𝑉) → 𝐽 ∈ dom 𝐸)
3023, 29jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐵𝑉) → (𝐼 ∈ dom 𝐸𝐽 ∈ dom 𝐸))
3130expcom 450 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑉 → (((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → (𝐼 ∈ dom 𝐸𝐽 ∈ dom 𝐸)))
32313ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) → (((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → (𝐼 ∈ dom 𝐸𝐽 ∈ dom 𝐸)))
3332imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐼 ∈ dom 𝐸𝐽 ∈ dom 𝐸))
34333adant2 1073 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → (𝐼 ∈ dom 𝐸𝐽 ∈ dom 𝐸))
3534adantl 481 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}))) → (𝐼 ∈ dom 𝐸𝐽 ∈ dom 𝐸))
36 prssg 4290 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑈𝐽𝑊) → ((𝐼 ∈ dom 𝐸𝐽 ∈ dom 𝐸) ↔ {𝐼, 𝐽} ⊆ dom 𝐸))
372, 36ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ dom 𝐸𝐽 ∈ dom 𝐸) ↔ {𝐼, 𝐽} ⊆ dom 𝐸)
3835, 37sylib 207 . . . . . 6 (({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}))) → {𝐼, 𝐽} ⊆ dom 𝐸)
39 f1ss 6019 . . . . . 6 (({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝐼, 𝐽} ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ dom 𝐸) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
4021, 38, 39syl2anc 691 . . . . 5 (({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶}))) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
4140ex 449 . . . 4 ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} → (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
4214, 41syl 17 . . 3 ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} → (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
4313, 42mpcom 37 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
44 f1eq1 6009 . . 3 (𝐹 = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
4515, 44ax-mp 5 . 2 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
4643, 45sylibr 223 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝐵𝑉) ∧ 𝐼𝐽 ∧ ((𝐸𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ..^cfzo 12334  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  constr2trl  26129
 Copyright terms: Public domain W3C validator