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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 2pthon | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A path of length 2 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
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2pthon |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | vex 3059 |
. . . . . . . . 9
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2 | vex 3059 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1, 2 | pm3.2i 461 |
. . . . . . . 8
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4 | eqid 2461 |
. . . . . . . 8
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5 | eqid 2461 |
. . . . . . . 8
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6 | 3, 4, 5 | constr2trl 25377 |
. . . . . . 7
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7 | 6 | 3adant3 1034 |
. . . . . 6
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8 | 7 | imp 435 |
. . . . 5
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9 | trliswlk 25317 |
. . . . 5
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10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . 4
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11 | c0ex 9662 |
. . . . . . . . 9
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12 | 11 | jctl 548 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | 3ad2ant1 1035 |
. . . . . . 7
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14 | 0ne1 10704 |
. . . . . . . 8
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15 | 0ne2 10849 |
. . . . . . . 8
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16 | 14, 15 | pm3.2i 461 |
. . . . . . 7
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17 | fvtp1g 6137 |
. . . . . . 7
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18 | 13, 16, 17 | sylancl 673 |
. . . . . 6
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19 | 18 | 3ad2ant2 1036 |
. . . . 5
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20 | 19 | adantr 471 |
. . . 4
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21 | ax-1ne0 9633 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | nesymi 2692 |
. . . . . . . 8
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23 | 11, 1 | opth1 4688 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | necon3bi 2661 |
. . . . . . . 8
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25 | 22, 24 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
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26 | opex 4677 |
. . . . . . . 8
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27 | opex 4677 |
. . . . . . . 8
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28 | hashprg 12603 |
. . . . . . . 8
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29 | 26, 27, 28 | mp2an 683 |
. . . . . . 7
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30 | 25, 29 | mpbi 213 |
. . . . . 6
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31 | 30 | fveq2i 5890 |
. . . . 5
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32 | 2z 10997 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 32 | jctl 548 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | 3ad2ant3 1037 |
. . . . . . . 8
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35 | 1ne2 10850 |
. . . . . . . . 9
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36 | 15, 35 | pm3.2i 461 |
. . . . . . . 8
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37 | fvtp3g 6139 |
. . . . . . . 8
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38 | 34, 36, 37 | sylancl 673 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | 3ad2ant2 1036 |
. . . . . 6
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40 | 39 | adantr 471 |
. . . . 5
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41 | 31, 40 | syl5eq 2507 |
. . . 4
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42 | simpl1 1017 |
. . . . . 6
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43 | prex 4655 |
. . . . . . . 8
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44 | tpex 6616 |
. . . . . . . 8
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45 | 43, 44 | pm3.2i 461 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | a1i 11 |
. . . . . 6
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47 | 3simpb 1012 |
. . . . . . . 8
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48 | 47 | 3ad2ant2 1036 |
. . . . . . 7
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49 | 48 | adantr 471 |
. . . . . 6
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50 | 42, 46, 49 | 3jca 1194 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-8 1899 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-rep 4528 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pow 4594 ax-pr 4652 ax-un 6609 ax-cnex 9620 ax-resscn 9621 ax-1cn 9622 ax-icn 9623 ax-addcl 9624 ax-addrcl 9625 ax-mulcl 9626 ax-mulrcl 9627 ax-mulcom 9628 ax-addass 9629 ax-mulass 9630 ax-distr 9631 ax-i2m1 9632 ax-1ne0 9633 ax-1rid 9634 ax-rnegex 9635 ax-rrecex 9636 ax-cnre 9637 ax-pre-lttri 9638 ax-pre-lttrn 9639 ax-pre-ltadd 9640 ax-pre-mulgt0 9641 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1457 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-nel 2635 df-ral 2753 df-rex 2754 df-reu 2755 df-rmo 2756 df-rab 2757 df-v 3058 df-sbc 3279 df-csb 3375 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-pss 3431 df-nul 3743 df-if 3893 df-pw 3964 df-sn 3980 df-pr 3982 df-tp 3984 df-op 3986 df-uni 4212 df-int 4248 df-iun 4293 df-br 4416 df-opab 4475 df-mpt 4476 df-tr 4511 df-eprel 4763 df-id 4767 df-po 4773 df-so 4774 df-fr 4811 df-we 4813 df-xp 4858 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-rn 4863 df-res 4864 df-ima 4865 df-pred 5398 df-ord 5444 df-on 5445 df-lim 5446 df-suc 5447 df-iota 5564 df-fun 5602 df-fn 5603 df-f 5604 df-f1 5605 df-fo 5606 df-f1o 5607 df-fv 5608 df-riota 6276 df-ov 6317 df-oprab 6318 df-mpt2 6319 df-om 6719 df-1st 6819 df-2nd 6820 df-wrecs 7053 df-recs 7115 df-rdg 7153 df-1o 7207 df-oadd 7211 df-er 7388 df-map 7499 df-pm 7500 df-en 7595 df-dom 7596 df-sdom 7597 df-fin 7598 df-card 8398 df-cda 8623 df-pnf 9702 df-mnf 9703 df-xr 9704 df-ltxr 9705 df-le 9706 df-sub 9887 df-neg 9888 df-nn 10637 df-2 10695 df-n0 10898 df-z 10966 df-uz 11188 df-fz 11813 df-fzo 11946 df-hash 12547 df-word 12696 df-wlk 25284 df-trail 25285 df-pth 25286 df-wlkon 25290 df-pthon 25292 |
This theorem is referenced by: 2pthoncl 25381 |
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