Theorem 2pthoncl 26133

Description: A path of length 2 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2pthoncl	⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) ∧ (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})

Proof of Theorem 2pthoncl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ≠ 𝑗 ↔ 𝐼 ≠ 𝑗))
2		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝐼))
3	2	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵}))
4		biidd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}))
5	1, 3, 4	3anbi123d 1391	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) ↔ (𝐼 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶})))
6		opeq2 4341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ⟨0, 𝑖⟩ = ⟨0, 𝐼⟩)
7	6	preq1d 4218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝑗⟩})
8	7	breq1d 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ({⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
9	5, 8	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}) ↔ ((𝐼 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})))
10	9	imbi2d 329	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})) ↔ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐼 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))))
11		neeq2 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 𝐼 ≠ 𝐽))
12		biidd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵}))
13		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘𝑗) = (𝐸‘𝐽))
14	13	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐸‘𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
15	11, 12, 14	3anbi123d 1391	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) ↔ (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝐽) = {𝐵, 𝐶})))
16		opeq2 4341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ⟨1, 𝑗⟩ = ⟨1, 𝐽⟩)
17	16	preq2d 4219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝑗⟩} = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
18	17	breq1d 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ({⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
19	15, 18	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (((𝐼 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}) ↔ ((𝐼 ≠ 𝐽 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})))
20	19	imbi2d 329	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐼 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})) ↔ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐼 ≠ 𝐽 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))))
21		2pthon 26132	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝑗) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝑖⟩, ⟨1, 𝑗⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
22	10, 20, 21	vtocl2g 3243	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) → (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐼 ≠ 𝐽 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})))
23	22	com12 32	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) → ((𝐼 ≠ 𝐽 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝐽) = {𝐵, 𝐶}) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})))
24	23	3imp 1249	1 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) ∧ (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ (𝐸‘𝐼) = {𝐴, 𝐵} ∧ (𝐸‘𝐽) = {𝐵, 𝐶})) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐶){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947   PathOn cpthon 26032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-wlkon 26042  df-pthon 26044

This theorem is referenced by:  2pthon3v  26134