Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem53 38946
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem53.1 𝑡𝑈
stoweidlem53.2 𝑡𝜑
stoweidlem53.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem53.4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem53.5 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
stoweidlem53.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem53.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem53.8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem53.9 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem53.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.13 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem53.14 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem53.15 (𝜑 → (𝑇𝑈) ≠ ∅)
stoweidlem53.16 (𝜑𝑍𝑈)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem53 (𝜑 → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,,𝑞,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,,𝑞   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝐴,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝐴   𝑥,𝑄   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem53
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem53.1 . . . 4 𝑡𝑈
2 stoweidlem53.2 . . . 4 𝑡𝜑
3 stoweidlem53.3 . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 stoweidlem53.4 . . . 4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
5 stoweidlem53.5 . . . 4 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
6 stoweidlem53.6 . . . 4 𝑇 = 𝐽
7 stoweidlem53.7 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
8 stoweidlem53.8 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem53.9 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
10 stoweidlem53.10 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
11 stoweidlem53.11 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
12 stoweidlem53.12 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
13 stoweidlem53.13 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
14 stoweidlem53.14 . . . 4 (𝜑𝑈𝐽)
15 stoweidlem53.16 . . . 4 (𝜑𝑍𝑈)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem50 38943 . . 3 (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
17 nfv 1830 . . . . . 6 𝑡 𝑢 ∈ Fin
18 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑡𝑢
19 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(𝑍) = 0
20 nfra1 2925 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)
2119, 20nfan 1816 . . . . . . . . . . . 12 𝑡((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))
22 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝐴
2321, 22nfrab 3100 . . . . . . . . . . 11 𝑡{𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
244, 23nfcxfr 2749 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑄
25 nfrab1 3099 . . . . . . . . . . 11 𝑡{𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}
2625nfeq2 2766 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}
2724, 26nfrex 2990 . . . . . . . . 9 𝑡𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}
28 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑡𝐽
2927, 28nfrab 3100 . . . . . . . 8 𝑡{𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
305, 29nfcxfr 2749 . . . . . . 7 𝑡𝑊
3118, 30nfss 3561 . . . . . 6 𝑡 𝑢𝑊
32 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑡𝑇
3332, 1nfdif 3693 . . . . . . 7 𝑡(𝑇𝑈)
34 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑡 𝑢
3533, 34nfss 3561 . . . . . 6 𝑡(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢
3617, 31, 35nf3an 1819 . . . . 5 𝑡(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
372, 36nfan 1816 . . . 4 𝑡(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
38 nfv 1830 . . . . 5 𝑤𝜑
39 nfv 1830 . . . . . 6 𝑤 𝑢 ∈ Fin
40 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑤𝑢
41 nfrab1 3099 . . . . . . . 8 𝑤{𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
425, 41nfcxfr 2749 . . . . . . 7 𝑤𝑊
4340, 42nfss 3561 . . . . . 6 𝑤 𝑢𝑊
44 nfv 1830 . . . . . 6 𝑤(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢
4539, 43, 44nf3an 1819 . . . . 5 𝑤(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
4638, 45nfan 1816 . . . 4 𝑤(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
47 nfv 1830 . . . . 5 𝜑
48 nfv 1830 . . . . . 6 𝑢 ∈ Fin
49 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑢
50 nfre1 2988 . . . . . . . . 9 𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}
51 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝐽
5250, 51nfrab 3100 . . . . . . . 8 {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
535, 52nfcxfr 2749 . . . . . . 7 𝑊
5449, 53nfss 3561 . . . . . 6 𝑢𝑊
55 nfv 1830 . . . . . 6 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢
5648, 54, 55nf3an 1819 . . . . 5 (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
5747, 56nfan 1816 . . . 4 (𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
58 eqid 2610 . . . 4 (𝑤𝑢 ↦ {𝑄𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}) = (𝑤𝑢 ↦ {𝑄𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}})
59 cmptop 21008 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
608, 59syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
61 retop 22375 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
623, 61eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Top
63 cnfex 38210 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
6460, 62, 63sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
659, 7syl6sseq 3614 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
6664, 65ssexd 4733 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
6766adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ V)
68 simpr1 1060 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
69 simpr2 1061 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑊)
70 simpr3 1062 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
71 stoweidlem53.15 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈) ≠ ∅)
7271adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑇𝑈) ≠ ∅)
7337, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72stoweidlem35 38928 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑚𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡))))
7416, 73exlimddv 1850 . 2 (𝜑 → ∃𝑚𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡))))
75 nfv 1830 . . . . . 6 𝑖𝜑
76 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑖 𝑚 ∈ ℕ
77 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑖 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
78 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑇𝑈)
79 nfre1 2988 . . . . . . . . 9 𝑖𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)
8078, 79nfral 2929 . . . . . . . 8 𝑖𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)
8177, 80nfan 1816 . . . . . . 7 𝑖(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡))
8276, 81nfan 1816 . . . . . 6 𝑖(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))
8375, 82nfan 1816 . . . . 5 𝑖(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡))))
84 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑡 𝑚 ∈ ℕ
85 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑡𝑞
86 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑡(1...𝑚)
8785, 86, 24nff 5954 . . . . . . . 8 𝑡 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
88 nfra1 2925 . . . . . . . 8 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)
8987, 88nfan 1816 . . . . . . 7 𝑡(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡))
9084, 89nfan 1816 . . . . . 6 𝑡(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))
912, 90nfan 1816 . . . . 5 𝑡(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡))))
92 eqid 2610 . . . . 5 (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞𝑦)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞𝑦)‘𝑡)))
93 simprl 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94 simprrl 800 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))) → 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄)
95 simprrr 801 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡))
9665adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
97103adant1r 1311 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
98113adant1r 1311 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
9912adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
100 elssuni 4403 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐽𝑈 𝐽)
101100, 6syl6sseqr 3615 . . . . . . . 8 (𝑈𝐽𝑈𝑇)
10214, 101syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑇)
103102, 15sseldd 3569 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑇)
104103adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))) → 𝑍𝑇)
10583, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104stoweidlem44 38937 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
106105ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡))))
107106exlimdvv 1849 . 2 (𝜑 → (∃𝑚𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡))))
10874, 107mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  (,)cioo 12046  ...cfz 12197  Σcsu 14264  topGenctg 15921  Topctop 20517   Cn ccn 20838  Compccmp 20999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937 This theorem is referenced by:  stoweidlem55  38948
 Copyright terms: Public domain W3C validator