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Theorem stoweidlem53 37854
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem53.1  |-  F/_ t U
stoweidlem53.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem53.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem53.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem53.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem53.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem53.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem53.8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem53.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem53.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem53.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem53.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem53.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem53.14  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem53.15  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
stoweidlem53.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem53  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g, h, q, t, T    f,
r, q, t, T   
x, f, q, t, T    A, f, g, h, q, t    Q, f, g, q    U, f, g, h, q    f, Z, g, h, q, t    ph, f, g, h, q   
w, g, h, t, T    g, W    h, J, t, w    q, p, t, T    A, p    U, p    Z, p    A, r    U, r    ph, r    t, K    w, Q    w, U    ph, w    x, A    x, Q    x, U    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, p)    A( w)    C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)    Q( t, h, r, p)    U( t)    J( x, f, g, r, q, p)    K( x, w, f, g, h, r, q, p)    W( x, w, t, f, h, r, q, p)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem53
Dummy variables  i  m  y  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem53.1 . . . 4  |-  F/_ t U
2 stoweidlem53.2 . . . 4  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem53.3 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem53.4 . . . 4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
5 stoweidlem53.5 . . . 4  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
6 stoweidlem53.6 . . . 4  |-  T  = 
U. J
7 stoweidlem53.7 . . . 4  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
8 stoweidlem53.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9 stoweidlem53.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
10 stoweidlem53.10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
11 stoweidlem53.11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12 stoweidlem53.12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
13 stoweidlem53.13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
14 stoweidlem53.14 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
15 stoweidlem53.16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem50 37851 . . 3  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
17 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ t  u  e.  Fin
18 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ t
u
19 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t ( h `  Z
)  =  0
20 nfra1 2803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
2119, 20nfan 1988 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )
22 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t A
2321, 22nfrab 3007 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
244, 23nfcxfr 2578 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t Q
25 nfrab1 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) }
2625nfeq2 2597 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }
2724, 26nfrex 2885 . . . . . . . . 9  |-  F/ t E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }
28 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t J
2927, 28nfrab 3007 . . . . . . . 8  |-  F/_ t { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
305, 29nfcxfr 2578 . . . . . . 7  |-  F/_ t W
3118, 30nfss 3457 . . . . . 6  |-  F/ t  u  C_  W
32 nfcv 2580 . . . . . . . 8  |-  F/_ t T
3332, 1nfdif 3586 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( T  \  U
)
34 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ t U. u
3533, 34nfss 3457 . . . . . 6  |-  F/ t ( T  \  U
)  C_  U. u
3617, 31, 35nf3an 1990 . . . . 5  |-  F/ t ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
372, 36nfan 1988 . . . 4  |-  F/ t ( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
38 nfv 1755 . . . . 5  |-  F/ w ph
39 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ w  u  e.  Fin
40 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ w u
41 nfrab1 3006 . . . . . . . 8  |-  F/_ w { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
425, 41nfcxfr 2578 . . . . . . 7  |-  F/_ w W
4340, 42nfss 3457 . . . . . 6  |-  F/ w  u  C_  W
44 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ w
( T  \  U
)  C_  U. u
4539, 43, 44nf3an 1990 . . . . 5  |-  F/ w
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
4638, 45nfan 1988 . . . 4  |-  F/ w
( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
47 nfv 1755 . . . . 5  |-  F/ h ph
48 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ h  u  e.  Fin
49 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ h u
50 nfre1 2883 . . . . . . . . 9  |-  F/ h E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }
51 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h J
5250, 51nfrab 3007 . . . . . . . 8  |-  F/_ h { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
535, 52nfcxfr 2578 . . . . . . 7  |-  F/_ h W
5449, 53nfss 3457 . . . . . 6  |-  F/ h  u  C_  W
55 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ h
( T  \  U
)  C_  U. u
5648, 54, 55nf3an 1990 . . . . 5  |-  F/ h
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
5747, 56nfan 1988 . . . 4  |-  F/ h
( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
58 eqid 2422 . . . 4  |-  ( w  e.  u  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )  =  ( w  e.  u  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
59 cmptop 20408 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
608, 59syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
61 retop 21780 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
623, 61eqeltri 2503 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
63 cnfex 37322 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
6460, 62, 63sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
659, 7syl6sseq 3510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
6664, 65ssexd 4571 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6766adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  _V )
68 simpr1 1011 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  u  e.  Fin )
69 simpr2 1012 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  u  C_  W )
70 simpr3 1013 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. u )
71 stoweidlem53.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
7271adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  =/=  (/) )
7337, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72stoweidlem35 37836 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
7416, 73exlimddv 1774 . 2  |-  ( ph  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
75 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ i
ph
76 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ i  m  e.  NN
77 nfv 1755 . . . . . . . 8  |-  F/ i  q : ( 1 ... m ) --> Q
78 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( T  \  U
)
79 nfre1 2883 . . . . . . . . 9  |-  F/ i E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
8078, 79nfral 2808 . . . . . . . 8  |-  F/ i A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
8177, 80nfan 1988 . . . . . . 7  |-  F/ i ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
8276, 81nfan 1988 . . . . . 6  |-  F/ i ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )
8375, 82nfan 1988 . . . . 5  |-  F/ i ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
84 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ t  m  e.  NN
85 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
q
86 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
8785, 86, 24nff 5742 . . . . . . . 8  |-  F/ t  q : ( 1 ... m ) --> Q
88 nfra1 2803 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
8987, 88nfan 1988 . . . . . . 7  |-  F/ t ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
9084, 89nfan 1988 . . . . . 6  |-  F/ t ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )
912, 90nfan 1988 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
92 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  m )  x.  sum_ y  e.  ( 1 ... m ) ( ( q `  y ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  m )  x.  sum_ y  e.  ( 1 ... m ) ( ( q `  y
) `  t )
) )
93 simprl 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
94 simprrl 772 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  q :
( 1 ... m
) --> Q )
95 simprrr 773 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
9665adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
97103adant1r 1257 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
98113adant1r 1257 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
9912adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A
)
100 elssuni 4248 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
101100, 6syl6sseqr 3511 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_  T )
10214, 101syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
103102, 15sseldd 3465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
104103adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  Z  e.  T )
10583, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104stoweidlem44 37845 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )
106105ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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p `  t )
) ) )
107106exlimdvv 1773 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
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p `  t )
) ) )
10874, 107mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657   F/wnf 1661    e. wcel 1872   F/_wnfc 2566    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4219   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   ran crn 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7580   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683    / cdiv 10276   NNcn 10616   (,)cioo 11642   ...cfz 11791   sum_csu 13751   topGenctg 15335   Topctop 19915    Cn ccn 20238   Compccmp 20399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-cmp 20400  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335
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