Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sge0resplit.a |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) |
2 | | sge0resplit.f |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶(0[,]+∞)) |
3 | | ssun1 3738 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) |
4 | | sge0resplit.u |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵) |
5 | 4 | eqcomi 2619 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑈 |
6 | 3, 5 | sseqtri 3600 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈 |
7 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈) |
8 | 2, 7 | fssresd 5984 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
9 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵)) |
10 | | sge0resplit.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊) |
11 | | unexg 6857 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) |
12 | 1, 10, 11 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) |
13 | 9, 12 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V) |
14 | | sge0resplit.re |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) |
15 | 13, 2, 14 | sge0ssre 39290 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ℝ) |
16 | 1, 8, 15 | sge0supre 39282 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < )) |
17 | 16, 15 | eqeltrrd 2689 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) ∈
ℝ) |
18 | | ssun2 3739 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) |
19 | 18, 5 | sseqtri 3600 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐵 ⊆ 𝑈 |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈) |
21 | 2, 20 | fssresd 5984 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞)) |
22 | 13, 2, 14 | sge0ssre 39290 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ ℝ) |
23 | 10, 21, 22 | sge0supre 39282 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < )) |
24 | 23, 22 | eqeltrrd 2689 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ) ∈
ℝ) |
25 | | rexadd 11937 |
. . . . 5
⊢ ((sup(ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ) ∈ ℝ) →
(sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐴 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) +𝑒
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < )) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) + sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ))) |
26 | 17, 24, 25 | syl2anc 691 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) +𝑒
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < )) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) + sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ))) |
27 | 13, 2, 14 | sge0rern 39281 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran
𝐹) |
28 | | nelrnres 38369 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
+∞ ∈ ran 𝐹
→ ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐴)) |
29 | 27, 28 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran
(𝐹 ↾ 𝐴)) |
30 | 8, 29 | fge0iccico 39263 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶(0[,)+∞)) |
31 | 30 | sge0rnre 39257 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ⊆ ℝ) |
32 | | sge0rnn0 39261 |
. . . . . 6
⊢ ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ≠ ∅ |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ≠ ∅) |
34 | 1, 30 | sge0reval 39265 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, <
)) |
35 | 34 | eqcomd 2616 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, < ) =
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴))) |
36 | 35, 15 | eqeltrd 2688 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ) |
37 | | supxrre3 38482 |
. . . . . . 7
⊢ ((ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ≠ ∅) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ ↔ ∃𝑤
∈ ℝ ∀𝑡
∈ ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐴 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤)) |
38 | 31, 33, 37 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ ↔ ∃𝑤
∈ ℝ ∀𝑡
∈ ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐴 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤)) |
39 | 36, 38 | mpbid 221 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤) |
40 | | nelrnres 38369 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
+∞ ∈ ran 𝐹
→ ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐵)) |
41 | 27, 40 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran
(𝐹 ↾ 𝐵)) |
42 | 21, 41 | fge0iccico 39263 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,)+∞)) |
43 | 42 | sge0rnre 39257 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ⊆ ℝ) |
44 | | sge0rnn0 39261 |
. . . . . 6
⊢ ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ≠ ∅ |
45 | 44 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ≠ ∅) |
46 | 10, 42 | sge0reval 39265 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, <
)) |
47 | 46 | eqcomd 2616 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, < ) =
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) |
48 | 47, 22 | eqeltrd 2688 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ) |
49 | | supxrre3 38482 |
. . . . . . 7
⊢ ((ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ≠ ∅) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ ↔ ∃𝑤
∈ ℝ ∀𝑡
∈ ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤)) |
50 | 43, 45, 49 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ ↔ ∃𝑤
∈ ℝ ∀𝑡
∈ ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤)) |
51 | 48, 50 | mpbid 221 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤) |
52 | | eqid 2610 |
. . . . 5
⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} |
53 | 31, 33, 39, 43, 45, 51, 52 | supadd 10868 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) + sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}, ℝ, < )) |
54 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}) → 𝜑) |
55 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑟 ∈ V |
56 | | eqeq1 2614 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 = (𝑣 + 𝑢) ↔ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢))) |
57 | 56 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝑟 → (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢))) |
58 | 57 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑟 → (∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢) ↔ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢))) |
59 | 55, 58 | elab 3319 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} ↔ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
60 | 59 | biimpi 205 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
61 | 60 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
62 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))) → 𝜑) |
63 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑣 ∈ V |
64 | | sumeq1 14267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
65 | 64 | cbvmptv 4678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
66 | 65 | elrnmpt 5293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))) |
67 | 63, 66 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
68 | 67 | biimpi 205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
69 | 68 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
70 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑢 ∈ V |
71 | | sumeq1 14267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑏 → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
72 | 71 | cbvmptv 4678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
73 | 72 | elrnmpt 5293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
74 | 70, 73 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
75 | 74 | biimpi 205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
76 | 75 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
77 | 69, 76 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
78 | | reeanv 3086 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∃𝑎 ∈
(𝒫 𝐴 ∩
Fin)∃𝑏 ∈
(𝒫 𝐵 ∩
Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ↔ (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
79 | 77, 78 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
80 | 79 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
81 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
82 | | elinel1 3761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) |
83 | | elpwi 4117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝐴) |
84 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝐴) |
85 | 84, 6 | syl6ss 3580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝑈) |
86 | 83, 85 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝑈) |
87 | 82, 86 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ 𝑈) |
88 | 87 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ 𝑈) |
89 | | elinel1 3761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) |
90 | | elpwi 4117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
91 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
92 | 91, 19 | syl6ss 3580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝑈) |
93 | 90, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝑈) |
94 | 89, 93 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ 𝑈) |
95 | 94 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ 𝑈) |
96 | 88, 95 | unssd 3751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑈) |
97 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 𝑎 ∈ V |
98 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 𝑏 ∈ V |
99 | 97, 98 | unex 6854 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ V |
100 | 99 | elpw 4114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∪ 𝑏) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑈) |
101 | 96, 100 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ 𝒫 𝑈) |
102 | | elinel2 3762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin) |
103 | 102 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin) |
104 | | elinel2 3762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin) |
105 | 104 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin) |
106 | | unfi 8112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) |
107 | 103, 105,
106 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) |
108 | 101, 107 | elind 3760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) |
109 | 108 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) |
110 | 109 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) |
111 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → 𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
112 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
113 | 111, 112 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
114 | 113 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
115 | 82, 83 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ 𝐴) |
116 | 115 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑎) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
117 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) |
118 | 116, 117 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑎) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) |
119 | 118 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦)) |
120 | 119 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦)) |
121 | 89, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
122 | 121 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
123 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) |
124 | 122, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) |
125 | 124 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦)) |
126 | 125 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦)) |
127 | 120, 126 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
128 | 127 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
129 | 114, 128 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
130 | 129 | ad4ant23 1289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
131 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
132 | | sge0resplit.in0 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) |
133 | 132 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) |
134 | 115 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → 𝑎 ⊆ 𝐴) |
135 | 121 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
136 | 135 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
137 | | ssin0 38248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∩ 𝑏) = ∅) |
138 | 133, 134,
136, 137 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑎 ∩ 𝑏) = ∅) |
139 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) = (𝑎 ∪ 𝑏)) |
140 | 107 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) |
141 | | rge0ssre 12151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
142 | | ax-resscn 9872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
143 | 141, 142 | sstri 3577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℂ |
144 | 2, 27 | fge0iccico 39263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶(0[,)+∞)) |
145 | 144 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → 𝐹:𝑈⟶(0[,)+∞)) |
146 | 96 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → 𝑦 ∈ 𝑈) |
147 | 146 | adantll 746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → 𝑦 ∈ 𝑈) |
148 | 145, 147 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞)) |
149 | 143, 148 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ) |
150 | 138, 139,
140, 149 | fsumsplit 14318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
151 | 150 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
152 | 130, 131,
151 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 = Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦)) |
153 | | sumeq1 14267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (𝑎 ∪ 𝑏) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦)) |
154 | 153 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = (𝑎 ∪ 𝑏) → (𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦))) |
155 | 154 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑎 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
156 | 110, 152,
155 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
157 | 55 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 ∈ V) |
158 | 81, 156, 157 | elrnmptd 38361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
159 | 158 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
160 | 159 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))) |
161 | 160 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))))) |
162 | 161 | rexlimdvv 3019 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))) |
163 | 162 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
164 | 62, 80, 163 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
165 | 164 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))) |
166 | 165 | rexlimdvv 3019 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
167 | 166 | imp 444 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
168 | 54, 61, 167 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
169 | 168 | ex 449 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
170 | 81 | elrnmpt 5293 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
171 | 170 | ibi 255 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
172 | 171 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
173 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥𝜑 |
174 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥𝑟 |
175 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
176 | 175 | nfrn 5289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
177 | 174, 176 | nfel 2763 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
178 | 173, 177 | nfan 1816 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
179 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
180 | 179 | nfrn 5289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
181 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
182 | 181 | nfrn 5289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
183 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥 𝑟 = (𝑣 + 𝑢) |
184 | 182, 183 | nfrex 2990 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢) |
185 | 180, 184 | nfrex 2990 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢) |
186 | | inss2 3796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴 |
187 | 186 | sseli 3564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
188 | 187 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
189 | 117 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
190 | 188, 189 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
191 | 190 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
192 | | sumeq1 14267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
193 | 192 | cbvmptv 4678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
194 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 𝑥 ∈ V |
195 | 194 | inex1 4727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ V |
196 | 195 | elpw 4114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴) |
197 | 186, 196 | mpbir 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴 |
198 | 197 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴) |
199 | | elinel2 3762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin) |
200 | | inss1 3795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 |
201 | 200 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥) |
202 | | ssfi 8065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Fin) |
203 | 199, 201,
202 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Fin) |
204 | 198, 203 | elind 3760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
205 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
206 | | sumeq1 14267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
207 | 206 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐴) → (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ↔ Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))) |
208 | 207 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
209 | 204, 205,
208 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
210 | | sumex 14266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∈ V |
211 | 210 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∈ V) |
212 | 193, 209,
211 | elrnmptd 38361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))) |
213 | 191, 212 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))) |
214 | 213 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))) |
215 | | sumeq1 14267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
216 | 215 | cbvmptv 4678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
217 | | inss2 3796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 |
218 | 194 | inex1 4727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V |
219 | 218 | elpw 4114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) |
220 | 217, 219 | mpbir 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝐵 |
221 | 220 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝐵) |
222 | | inss1 3795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 |
223 | 222 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥) |
224 | | ssfi 8065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin) |
225 | 199, 223,
224 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin) |
226 | 225 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin) |
227 | 221, 226 | elind 3760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) |
228 | 217 | sseli 3564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
229 | 123 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
230 | 228, 229 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
231 | 230 | sumeq2i 14277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) |
232 | 231 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
233 | 232 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
234 | | sumeq1 14267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
235 | 234 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) ↔ Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
236 | 235 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
237 | 227, 233,
236 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
238 | | sumex 14266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) ∈ V |
239 | 238 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) ∈ V) |
240 | 216, 237,
239 | elrnmptd 38361 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
241 | | simp3 1056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
242 | 186 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴) |
243 | 217 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) |
244 | | ssin0 38248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∩ (𝑥 ∩ 𝐵)) = ∅) |
245 | 132, 242,
243, 244 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∩ (𝑥 ∩ 𝐵)) = ∅) |
246 | 245 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∩ (𝑥 ∩ 𝐵)) = ∅) |
247 | | elinel1 3761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑈) |
248 | | elpwi 4117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑈 → 𝑥 ⊆ 𝑈) |
249 | 247, 248 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑈) |
250 | 4 | ineq2i 3773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∩ 𝑈) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) |
251 | 250 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (𝑥 ∩ 𝑈) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵))) |
252 | | dfss 3555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑥 = (𝑥 ∩ 𝑈)) |
253 | 252 | biimpi 205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 = (𝑥 ∩ 𝑈)) |
254 | | indi 3832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵)) |
255 | 254 | eqcomi 2619 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) |
256 | 255 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵))) |
257 | 251, 253,
256 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵))) |
258 | 249, 257 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → 𝑥 = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵))) |
259 | 258 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → 𝑥 = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵))) |
260 | 199 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin) |
261 | 144 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹:𝑈⟶(0[,)+∞)) |
262 | 249 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑈) |
263 | 262 | adantll 746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑈) |
264 | 261, 263 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞)) |
265 | 143, 264 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ) |
266 | 246, 259,
260, 265 | fsumsplit 14318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) |
267 | 266 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) |
268 | 241, 267 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) |
269 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑢 = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) → (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) |
270 | 269 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑢 = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) → (𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢) ↔ 𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦)))) |
271 | 270 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ∧ 𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢)) |
272 | 240, 268,
271 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢)) |
273 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢)) |
274 | 273 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) ↔ 𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢))) |
275 | 274 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) → (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢))) |
276 | 275 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
277 | 214, 272,
276 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
278 | 277 | 3exp 1256 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)))) |
279 | 278 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)))) |
280 | 178, 185,
279 | rexlimd 3008 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢))) |
281 | 172, 280 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
282 | 281, 59 | sylibr 223 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}) |
283 | 282 | ex 449 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)})) |
284 | 169, 283 | impbid 201 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
285 | 284 | alrimiv 1842 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
286 | | dfcleq 2604 |
. . . . . 6
⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
287 | 285, 286 | sylibr 223 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
288 | 287 | supeq1d 8235 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}, ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < )) |
289 | 26, 53, 288 | 3eqtrrd 2649 |
. . 3
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) +𝑒
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ))) |
290 | 13, 2, 14 | sge0supre 39282 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < )) |
291 | 16, 23 | oveq12d 6567 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +𝑒
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) +𝑒
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ))) |
292 | 289, 290,
291 | 3eqtr4d 2654 |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +𝑒
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) |
293 | | rexadd 11937 |
. . 3
⊢
(((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ℝ ∧
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ ℝ) →
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +𝑒
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) |
294 | 15, 22, 293 | syl2anc 691 |
. 2
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +𝑒
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) |
295 | 292, 294 | eqtrd 2644 |
1
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) |