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Theorem sge0resplit 38362
Description: Σ^ splits into two parts, when it's a real number. This is a special case of sge0split 38365. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0resplit.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
sge0resplit.u  |-  U  =  ( A  u.  B
)
sge0resplit.in0  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sge0resplit.f  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0resplit.re  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
sge0resplit  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )

Proof of Theorem sge0resplit
Dummy variables  a 
b  r  u  v  x  y  t  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0resplit.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 sge0resplit.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
3 ssun1 3588 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
4 sge0resplit.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( A  u.  B
)
54eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  =  U
63, 5sseqtri 3450 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  U
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
82, 7fssresd 5762 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
94a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
10 sge0resplit.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
11 unexg 6611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
121, 10, 11syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
139, 12eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
14 sge0resplit.re . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
1513, 2, 14sge0ssre 38353 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR )
161, 8, 15sge0supre 38345 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )
1716, 15eqeltrrd 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
18 ssun2 3589 . . . . . . . . . 10  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1918, 5sseqtri 3450 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  U
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
212, 20fssresd 5762 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
2213, 2, 14sge0ssre 38353 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )
2310, 21, 22sge0supre 38345 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )
2423, 22eqeltrrd 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
25 rexadd 11548 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\ 
sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
2617, 24, 25syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
2713, 2, 14sge0rern 38344 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  F )
28 nelrnres 37533 . . . . . . . 8  |-  ( -. +oo  e.  ran  F  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
308, 29fge0iccico 38326 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
3130sge0rnre 38320 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  C_  RR )
32 sge0rnn0 38324 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  =/=  (/)
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  =/=  (/) )
341, 30sge0reval 38328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  ) )
3534eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) )
3635, 15eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
37 supxrre3 37635 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  =/=  (/) )  -> 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) t  <_  w ) )
3831, 33, 37syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) t  <_  w ) )
3936, 38mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) t  <_  w )
40 nelrnres 37533 . . . . . . . 8  |-  ( -. +oo  e.  ran  F  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
4127, 40syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
4221, 41fge0iccico 38326 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
4342sge0rnre 38320 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  C_  RR )
44 sge0rnn0 38324 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =/=  (/)
4544a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =/=  (/) )
4610, 42sge0reval 38328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  ) )
4746eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )
4847, 22eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
49 supxrre3 37635 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =/=  (/) )  -> 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) t  <_  w ) )
5043, 45, 49syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) t  <_  w ) )
5148, 50mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) t  <_  w )
52 eqid 2471 . . . . 5  |-  { z  |  E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  =  {
z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }
5331, 33, 39, 43, 45, 51, 52supadd 10597 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } ,  RR ,  <  ) )
54 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )  ->  ph )
55 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  r  e. 
_V
56 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  r  ->  (
z  =  ( v  +  u )  <->  r  =  ( v  +  u
) ) )
5756rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  r  ->  ( E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
)  <->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) )
5857rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  r  ->  ( E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
)  <->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) )
5955, 58elab 3173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
6059biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
6160adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
62 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ) )  ->  ph )
63 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
64 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y ) )
6564cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  =  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
6665elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  <->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y ) ) )
6763, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  <->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y ) )
6867biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
70 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  u  e. 
_V
71 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  b  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) )
7271cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  =  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
7372elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  <->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) u  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) ) )
7470, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  <->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) u  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) )
7574biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
7675adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
7769, 76jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) )
78 reeanv 2944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  <->  ( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) u  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) ) )
7977, 78sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
8079adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) ) )
81 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
82 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  ~P A )
83 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a  e.  ~P A  -> 
a  C_  A )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a 
C_  A  ->  a  C_  A )
8584, 6syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a 
C_  A  ->  a  C_  U )
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a  e.  ~P A  -> 
a  C_  U )
8782, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  C_  U )
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  a  C_  U )
89 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  e.  ~P B )
90 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ~P B  -> 
b  C_  B )
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b 
C_  B  ->  b  C_  B )
9291, 19syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b 
C_  B  ->  b  C_  U )
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b  e.  ~P B  -> 
b  C_  U )
9489, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  C_  U )
9594adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  b  C_  U )
9688, 95unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  C_  U
)
97 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  a  e. 
_V
98 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  b  e. 
_V
9997, 98unex 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  u.  b )  e. 
_V
10099elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  u.  b )  e.  ~P U  <->  ( a  u.  b )  C_  U
)
10196, 100sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  ~P U )
102 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  Fin )
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  a  e.  Fin )
104 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  e.  Fin )
105104adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  Fin )
106 unfi 7856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  b  e.  Fin )  ->  ( a  u.  b
)  e.  Fin )
107103, 105, 106syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  Fin )
108101, 107elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
109108adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  u.  b
)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
)
110109ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
( a  u.  b
)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
)
111 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
112 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
113111, 112oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  (
v  +  u )  =  ( sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  +  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) ) )
114113adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( v  +  u
)  =  ( sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  + 
sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
11582, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  C_  A )
116115sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  a
)  ->  y  e.  A )
117 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  a
)  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  ( F `  y ) )
119118sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  a  ( F `  y )
)
120119adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  a  ( F `  y ) )
12189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  C_  B )
122121sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  y  e.  b
)  ->  y  e.  B )
123 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  y  e.  b
)  ->  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  ( F `  y ) )
125124sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  b  ( F `  y )
)
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
)  =  sum_ y  e.  b  ( F `  y ) )
127120, 126oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  + 
sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =  (
sum_ y  e.  a  ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y ) ) )
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  +  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y ) ) )
129114, 128eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( v  +  u
)  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y
) ) )
130129ad4ant23 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
( v  +  u
)  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y
) ) )
131 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  =  ( v  +  u ) )
132 sge0resplit.in0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( A  i^i  B
)  =  (/) )
134115ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
a  C_  A )
135121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  b  C_  B )
136135adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
b  C_  B )
137 ssin0 37454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  a  C_  A  /\  b  C_  B )  ->  (
a  i^i  b )  =  (/) )
138133, 134, 136, 137syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  i^i  b
)  =  (/) )
139 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  u.  b
)  =  ( a  u.  b ) )
140107adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  u.  b
)  e.  Fin )
141 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
142 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  RR  C_  CC
143141, 142sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
1442, 27fge0iccico 38326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
145144ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
14696sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  y  e.  U )
147146adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  y  e.  U )
148145, 147ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
149143, 148sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
150138, 139, 140, 149fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  ->  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `  y )  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y )
) )
151150ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  ->  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `  y )  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y )
) )
152130, 131, 1513eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b
) ( F `  y ) )
153 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( a  u.  b )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `
 y ) )
154153eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( a  u.  b )  ->  (
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <->  r  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `  y ) ) )
155154rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  u.  b
)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `
 y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
156110, 152, 155syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
15755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  e.  _V )
15881, 156, 157elrnmptd 37524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
159158ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( r  =  ( v  +  u )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
160159ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) )
161160ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  (
( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  (
r  =  ( v  +  u )  -> 
r  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) ) )
162161rexlimdvv 2877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) )
163162imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
16462, 80, 163syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
165164ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( r  =  ( v  +  u )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) )
166165rexlimdvv 2877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
167166imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
16854, 61, 167syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )  -> 
r  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
169168ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( r  e.  {
z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
17081elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
171170ibi 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
172171adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
173 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
174 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
r
175 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
176175nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
177174, 176nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
178173, 177nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
179 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
180179nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
181 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
182181nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
183 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x  r  =  ( v  +  u )
184182, 183nfrex 2848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
)
185180, 184nfrex 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
)
186 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
187186sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
A )  ->  y  e.  A )
188187adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  (
x  i^i  A )
)  ->  y  e.  A )
189117eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  A  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
190188, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  (
x  i^i  A )
)  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  A ) `
 y ) )
191190sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y ) )
192 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  z  (
( F  |`  A ) `
 y ) )
193192cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  =  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
194 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  x  e. 
_V
195194inex1 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
196195elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  A )  C_  A
)
197186, 196mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  i^i  A )  e. 
~P A
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ~P A )
199 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
200 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  C_  x )
202 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  A ) 
C_  x )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  Fin )
203199, 201, 202syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  Fin )
204198, 203elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
205 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
) )
206 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y ) )
207206eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `
 y )  = 
sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
208207rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
209204, 205, 208syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
210 sumex 13831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  _V
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  _V )
212193, 209, 211elrnmptd 37524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
213191, 212eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
2142133ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
215 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  z  (
( F  |`  B ) `
 y ) )
216215cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  =  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
217 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
218194inex1 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
219218elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  i^i  B )  e.  ~P B  <->  ( x  i^i  B )  C_  B
)
220217, 219mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  i^i  B )  e. 
~P B
221220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  ~P B )
222 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  B )  C_  x
223222a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  B )  C_  x )
224 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  B ) 
C_  x )  -> 
( x  i^i  B
)  e.  Fin )
225199, 223, 224syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
2262253ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  Fin )
227221, 226elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
228217sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  y  e.  B )
229123eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
230228, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
231230sumeq2i 13842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y )
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y ) )
2332323adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y ) )
234 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y ) )
235234eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y
)  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
236235rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  i^i  B
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
237227, 233, 236syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
238 sumex 13831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  _V
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  _V )
240216, 237, 239elrnmptd 37524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
241 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
242186a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  i^i  A
)  C_  A )
243217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  i^i  B
)  C_  B )
244 ssin0 37454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  (
x  i^i  A )  C_  A  /\  ( x  i^i  B )  C_  B )  ->  (
( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  =  (/) )
245132, 242, 243, 244syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  =  (/) )
246245adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  =  (/) )
247 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P U )
248 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ~P U  ->  x  C_  U )
249247, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  C_  U )
2504ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  i^i  U )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B )
)
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  (
x  i^i  U )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )
252 dfss 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x 
C_  U  <->  x  =  ( x  i^i  U ) )
253252biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  x  =  ( x  i^i 
U ) )
254 indi 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  B )
)
255254eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i 
B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B )
)
256255a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  (
( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )
257251, 253, 2563eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x 
C_  U  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
258249, 257syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
259258adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
260199adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
261144ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
262249sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  U )
263262adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  U )
264261, 263ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
265143, 264sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
266246, 259, 260, 265fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
2672663adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
268241, 267eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
269 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `
 y )  +  u )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
270269eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  ->  ( r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  u
)  <->  r  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) ) )
271270rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  /\  r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) ) )  ->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) )
272240, 268, 271syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) )
273 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  ->  ( v  +  u )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) )
274273eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  ->  ( r  =  ( v  +  u )  <->  r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) ) )
275274rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  ->  ( E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) r  =  ( v  +  u )  <->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) ) )
276275rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  u
) )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
277214, 272, 276syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
2782773exp 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( r  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) ) )
279278adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) ) )
280178, 185, 279rexlimd 2866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) )
281172, 280mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
282281, 59sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) E. u  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )
283282ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } ) )
284169, 283impbid 195 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( r  e.  {
z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
285284alrimiv 1781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. r ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
286 dfcleq 2465 . . . . . 6  |-  ( { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  =  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  A. r ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
287285, 286sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) E. u  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  =  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
288287supeq1d 7978 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { z  |  E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  ) )
28926, 53, 2883eqtrrd 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
29013, 2, 14sge0supre 38345 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  ) )
29116, 23oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
292289, 290, 2913eqtr4d 2515 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
293 rexadd 11548 . . 3  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR  /\  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
29415, 22, 293syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
295292, 294eqtrd 2505 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
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