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Theorem sge0resplit 38248
Description: Σ^ splits into two parts, when it's a real number. This is a special case of sge0split 38251. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0resplit.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
sge0resplit.u  |-  U  =  ( A  u.  B
)
sge0resplit.in0  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sge0resplit.f  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0resplit.re  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
sge0resplit  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )

Proof of Theorem sge0resplit
Dummy variables  a 
b  r  u  v  x  y  t  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0resplit.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 sge0resplit.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
3 ssun1 3597 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
4 sge0resplit.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( A  u.  B
)
54eqcomi 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  =  U
63, 5sseqtri 3464 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  U
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
82, 7fssresd 5750 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
94a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
10 sge0resplit.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
11 unexg 6592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
121, 10, 11syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
139, 12eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
14 sge0resplit.re . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
1513, 2, 14sge0ssre 38239 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR )
161, 8, 15sge0supre 38231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )
1716, 15eqeltrrd 2530 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
18 ssun2 3598 . . . . . . . . . 10  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1918, 5sseqtri 3464 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  U
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
212, 20fssresd 5750 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
2213, 2, 14sge0ssre 38239 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )
2310, 21, 22sge0supre 38231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )
2423, 22eqeltrrd 2530 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
25 rexadd 11525 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\ 
sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
2617, 24, 25syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
2713, 2, 14sge0rern 38230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  F )
28 nelrnres 37462 . . . . . . . 8  |-  ( -. +oo  e.  ran  F  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
308, 29fge0iccico 38212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
3130sge0rnre 38206 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  C_  RR )
32 sge0rnn0 38210 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  =/=  (/)
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  =/=  (/) )
341, 30sge0reval 38214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  ) )
3534eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) )
3635, 15eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
37 supxrre3 37548 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  =/=  (/) )  -> 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) t  <_  w ) )
3831, 33, 37syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) t  <_  w ) )
3936, 38mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) t  <_  w )
40 nelrnres 37462 . . . . . . . 8  |-  ( -. +oo  e.  ran  F  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
4127, 40syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
4221, 41fge0iccico 38212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
4342sge0rnre 38206 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  C_  RR )
44 sge0rnn0 38210 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =/=  (/)
4544a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =/=  (/) )
4610, 42sge0reval 38214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  ) )
4746eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )
4847, 22eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
49 supxrre3 37548 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =/=  (/) )  -> 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) t  <_  w ) )
5043, 45, 49syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) t  <_  w ) )
5148, 50mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) t  <_  w )
52 eqid 2451 . . . . 5  |-  { z  |  E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  =  {
z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }
5331, 33, 39, 43, 45, 51, 52supadd 10575 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } ,  RR ,  <  ) )
54 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )  ->  ph )
55 vex 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  r  e. 
_V
56 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  r  ->  (
z  =  ( v  +  u )  <->  r  =  ( v  +  u
) ) )
5756rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  r  ->  ( E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
)  <->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) )
5857rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  r  ->  ( E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
)  <->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) )
5955, 58elab 3185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
6059biimpi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
6160adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
62 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ) )  ->  ph )
63 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
64 sumeq1 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y ) )
6564cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  =  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
6665elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  <->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y ) ) )
6763, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  <->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y ) )
6867biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
6968adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
70 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  u  e. 
_V
71 sumeq1 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  b  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) )
7271cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  =  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
7372elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  <->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) u  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) ) )
7470, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  <->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) u  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) )
7574biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
7675adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
7769, 76jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) )
78 reeanv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  <->  ( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) u  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) ) )
7977, 78sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
8079adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) ) )
81 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
82 elinel1 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  ~P A )
83 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a  e.  ~P A  -> 
a  C_  A )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a 
C_  A  ->  a  C_  A )
8584, 6syl6ss 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a 
C_  A  ->  a  C_  U )
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a  e.  ~P A  -> 
a  C_  U )
8782, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  C_  U )
8887adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  a  C_  U )
89 elinel1 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  e.  ~P B )
90 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ~P B  -> 
b  C_  B )
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b 
C_  B  ->  b  C_  B )
9291, 19syl6ss 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b 
C_  B  ->  b  C_  U )
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b  e.  ~P B  -> 
b  C_  U )
9489, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  C_  U )
9594adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  b  C_  U )
9688, 95unssd 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  C_  U
)
97 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  a  e. 
_V
98 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  b  e. 
_V
9997, 98unex 6589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  u.  b )  e. 
_V
10099elpw 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  u.  b )  e.  ~P U  <->  ( a  u.  b )  C_  U
)
10196, 100sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  ~P U )
102 elinel2 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  Fin )
103102adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  a  e.  Fin )
104 elinel2 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  e.  Fin )
105104adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  Fin )
106 unfi 7838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  b  e.  Fin )  ->  ( a  u.  b
)  e.  Fin )
107103, 105, 106syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  Fin )
108101, 107elind 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
109108adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  u.  b
)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
)
110109ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
( a  u.  b
)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
)
111 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
112 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
113111, 112oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  (
v  +  u )  =  ( sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  +  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) ) )
114113adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( v  +  u
)  =  ( sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  + 
sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
11582, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  C_  A )
116115sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  a
)  ->  y  e.  A )
117 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  a
)  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  ( F `  y ) )
119118sumeq2dv 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  a  ( F `  y )
)
120119adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  a  ( F `  y ) )
12189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  C_  B )
122121sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  y  e.  b
)  ->  y  e.  B )
123 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  y  e.  b
)  ->  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  ( F `  y ) )
125124sumeq2dv 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  b  ( F `  y )
)
126125adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
)  =  sum_ y  e.  b  ( F `  y ) )
127120, 126oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  + 
sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =  (
sum_ y  e.  a  ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y ) ) )
128127adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  +  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y ) ) )
129114, 128eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( v  +  u
)  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y
) ) )
130129ad4ant23 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
( v  +  u
)  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y
) ) )
131 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  =  ( v  +  u ) )
132 sge0resplit.in0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
133132adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( A  i^i  B
)  =  (/) )
134115ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
a  C_  A )
135121adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  b  C_  B )
136135adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
b  C_  B )
137 ssin0 37395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  a  C_  A  /\  b  C_  B )  ->  (
a  i^i  b )  =  (/) )
138133, 134, 136, 137syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  i^i  b
)  =  (/) )
139 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  u.  b
)  =  ( a  u.  b ) )
140107adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  u.  b
)  e.  Fin )
141 rge0ssre 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
142 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  RR  C_  CC
143141, 142sstri 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
1442, 27fge0iccico 38212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
145144ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
14696sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  y  e.  U )
147146adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  y  e.  U )
148145, 147ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
149143, 148sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
150138, 139, 140, 149fsumsplit 13806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  ->  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `  y )  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y )
) )
151150ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  ->  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `  y )  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y )
) )
152130, 131, 1513eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b
) ( F `  y ) )
153 sumeq1 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( a  u.  b )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `
 y ) )
154153eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( a  u.  b )  ->  (
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <->  r  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `  y ) ) )
155154rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  u.  b
)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `
 y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
156110, 152, 155syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
15755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  e.  _V )
15881, 156, 157elrnmptd 37453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
159158ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( r  =  ( v  +  u )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
160159ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) )
161160ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  (
( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  (
r  =  ( v  +  u )  -> 
r  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) ) )
162161rexlimdvv 2885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) )
163162imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
16462, 80, 163syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
165164ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( r  =  ( v  +  u )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) )
166165rexlimdvv 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
167166imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
16854, 61, 167syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )  -> 
r  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
169168ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( r  e.  {
z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
17081elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
171170ibi 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
172171adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
173 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
174 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
r
175 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
176175nfrn 5077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
177174, 176nfel 2604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
178173, 177nfan 2011 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
179 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
180179nfrn 5077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
181 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
182181nfrn 5077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
183 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x  r  =  ( v  +  u )
184182, 183nfrex 2850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
)
185180, 184nfrex 2850 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
)
186 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
187186sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
A )  ->  y  e.  A )
188187adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  (
x  i^i  A )
)  ->  y  e.  A )
189117eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  A  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
190188, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  (
x  i^i  A )
)  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  A ) `
 y ) )
191190sumeq2dv 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y ) )
192 sumeq1 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  z  (
( F  |`  A ) `
 y ) )
193192cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  =  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
194 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  x  e. 
_V
195194inex1 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
196195elpw 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  A )  C_  A
)
197186, 196mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  i^i  A )  e. 
~P A
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ~P A )
199 elinel2 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
200 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  C_  x )
202 ssfi 7792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  A ) 
C_  x )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  Fin )
203199, 201, 202syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  Fin )
204198, 203elind 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
205 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
) )
206 sumeq1 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y ) )
207206eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `
 y )  = 
sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
208207rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
209204, 205, 208syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
210 sumex 13754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  _V
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  _V )
212193, 209, 211elrnmptd 37453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
213191, 212eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
2142133ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
215 sumeq1 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  z  (
( F  |`  B ) `
 y ) )
216215cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  =  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
217 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
218194inex1 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
219218elpw 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  i^i  B )  e.  ~P B  <->  ( x  i^i  B )  C_  B
)
220217, 219mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  i^i  B )  e. 
~P B
221220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  ~P B )
222 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  B )  C_  x
223222a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  B )  C_  x )
224 ssfi 7792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  B ) 
C_  x )  -> 
( x  i^i  B
)  e.  Fin )
225199, 223, 224syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
2262253ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  Fin )
227221, 226elind 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
228217sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  y  e.  B )
229123eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
230228, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
231230sumeq2i 13765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y )
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y ) )
2332323adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y ) )
234 sumeq1 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y ) )
235234eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y
)  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
236235rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  i^i  B
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
237227, 233, 236syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
238 sumex 13754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  _V
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  _V )
240216, 237, 239elrnmptd 37453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
241 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
242186a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  i^i  A
)  C_  A )
243217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  i^i  B
)  C_  B )
244 ssin0 37395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  (
x  i^i  A )  C_  A  /\  ( x  i^i  B )  C_  B )  ->  (
( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  =  (/) )
245132, 242, 243, 244syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  =  (/) )
246245adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  =  (/) )
247 elinel1 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P U )
248 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ~P U  ->  x  C_  U )
249247, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  C_  U )
2504ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  i^i  U )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B )
)
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  (
x  i^i  U )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )
252 dfss 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x 
C_  U  <->  x  =  ( x  i^i  U ) )
253252biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  x  =  ( x  i^i 
U ) )
254 indi 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  B )
)
255254eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i 
B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B )
)
256255a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  (
( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )
257251, 253, 2563eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x 
C_  U  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
258249, 257syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
259258adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
260199adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
261144ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
262249sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  U )
263262adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  U )
264261, 263ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
265143, 264sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
266246, 259, 260, 265fsumsplit 13806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
2672663adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
268241, 267eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
269 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `
 y )  +  u )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
270269eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  ->  ( r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  u
)  <->  r  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) ) )
271270rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  /\  r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) ) )  ->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) )
272240, 268, 271syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) )
273 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  ->  ( v  +  u )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) )
274273eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  ->  ( r  =  ( v  +  u )  <->  r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) ) )
275274rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  ->  ( E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) r  =  ( v  +  u )  <->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) ) )
276275rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  u
) )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
277214, 272, 276syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
2782773exp 1207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( r  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) ) )
279278adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) ) )
280178, 185, 279rexlimd 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) )
281172, 280mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
282281, 59sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) E. u  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )
283282ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } ) )
284169, 283impbid 194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( r  e.  {
z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
285284alrimiv 1773 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. r ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
286 dfcleq 2445 . . . . . 6  |-  ( { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  =  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  A. r ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
287285, 286sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) E. u  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  =  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
288287supeq1d 7960 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { z  |  E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  ) )
28926, 53, 2883eqtrrd 2490 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
29013, 2, 14sge0supre 38231 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  ) )
29116, 23oveq12d 6308 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
292289, 290, 2913eqtr4d 2495 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
293 rexadd 11525 . . 3  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR  /\  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
29415, 22, 293syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
295292, 294eqtrd 2485 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887   {cab 2437    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   +ecxad 11407   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   sum_csu 13752  Σ^csumge0 38204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205
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