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Theorem sge0resplit 38080
Description: Σ^ splits into two parts, when it's a real number. This is a special case of sge0split 38083. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0resplit.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
sge0resplit.u  |-  U  =  ( A  u.  B
)
sge0resplit.in0  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sge0resplit.f  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0resplit.re  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
sge0resplit  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )

Proof of Theorem sge0resplit
Dummy variables  a 
b  r  u  v  x  y  t  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0resplit.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 sge0resplit.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
3 ssun1 3630 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
4 sge0resplit.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( A  u.  B
)
54eqcomi 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  =  U
63, 5sseqtri 3497 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  U
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
82, 7fssresd 5765 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
94a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
10 sge0resplit.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
11 unexg 6604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
121, 10, 11syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
139, 12eqeltrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
14 sge0resplit.re . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
1513, 2, 14sge0ssre 38071 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR )
161, 8, 15sge0supre 38063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )
1716, 15eqeltrrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
18 ssun2 3631 . . . . . . . . . 10  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1918, 5sseqtri 3497 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  U
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
212, 20fssresd 5765 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
2213, 2, 14sge0ssre 38071 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )
2310, 21, 22sge0supre 38063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )
2423, 22eqeltrrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
25 rexadd 11527 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\ 
sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
2617, 24, 25syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
2713, 2, 14sge0rern 38062 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  F )
28 nelrnres 37356 . . . . . . . 8  |-  ( -. +oo  e.  ran  F  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
308, 29fge0iccico 38044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
3130sge0rnre 38038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  C_  RR )
32 sge0rnn0 38042 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  =/=  (/)
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  =/=  (/) )
341, 30sge0reval 38046 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  ) )
3534eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) )
3635, 15eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
37 supxrre3 37434 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  =/=  (/) )  -> 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) t  <_  w ) )
3831, 33, 37syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) t  <_  w ) )
3936, 38mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) t  <_  w )
40 nelrnres 37356 . . . . . . . 8  |-  ( -. +oo  e.  ran  F  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
4127, 40syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
4221, 41fge0iccico 38044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
4342sge0rnre 38038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  C_  RR )
44 sge0rnn0 38042 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =/=  (/)
4544a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =/=  (/) )
4610, 42sge0reval 38046 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  ) )
4746eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )
4847, 22eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
49 supxrre3 37434 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =/=  (/) )  -> 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) t  <_  w ) )
5043, 45, 49syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) t  <_  w ) )
5148, 50mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. t  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) t  <_  w )
52 eqid 2423 . . . . 5  |-  { z  |  E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  =  {
z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }
5331, 33, 39, 43, 45, 51, 52supadd 10577 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } ,  RR ,  <  ) )
54 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )  ->  ph )
55 vex 3085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  r  e. 
_V
56 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  r  ->  (
z  =  ( v  +  u )  <->  r  =  ( v  +  u
) ) )
5756rexbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  r  ->  ( E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
)  <->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) )
5857rexbidv 2940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  r  ->  ( E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
)  <->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) )
5955, 58elab 3219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
6059biimpi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
6160adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
62 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ) )  ->  ph )
63 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
64 sumeq1 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y ) )
6564cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  =  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
6665elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  <->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y ) ) )
6763, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  <->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y ) )
6867biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
6968adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
70 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  u  e. 
_V
71 sumeq1 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  b  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) )
7271cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  =  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
7372elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  <->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) u  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) ) )
7470, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  <->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) u  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) )
7574biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
7675adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
7769, 76jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) )
78 reeanv 2997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  <->  ( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) u  =  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) ) )
7977, 78sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
8079adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ) )  ->  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) ) )
81 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
82 elinel1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  ~P A )
83 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a  e.  ~P A  -> 
a  C_  A )
84 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a 
C_  A  ->  a  C_  A )
8584, 6syl6ss 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a 
C_  A  ->  a  C_  U )
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a  e.  ~P A  -> 
a  C_  U )
8782, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  C_  U )
8887adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  a  C_  U )
89 elinel1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  e.  ~P B )
90 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ~P B  -> 
b  C_  B )
91 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b 
C_  B  ->  b  C_  B )
9291, 19syl6ss 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b 
C_  B  ->  b  C_  U )
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b  e.  ~P B  -> 
b  C_  U )
9489, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  C_  U )
9594adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  b  C_  U )
9688, 95unssd 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  C_  U
)
97 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  a  e. 
_V
98 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  b  e. 
_V
9997, 98unex 6601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  u.  b )  e. 
_V
10099elpw 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  u.  b )  e.  ~P U  <->  ( a  u.  b )  C_  U
)
10196, 100sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  ~P U )
102 elinel2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  Fin )
103102adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  a  e.  Fin )
104 elinel2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  e.  Fin )
105104adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  Fin )
106 unfi 7842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  b  e.  Fin )  ->  ( a  u.  b
)  e.  Fin )
107103, 105, 106syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  Fin )
108101, 107elind 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
109108adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  u.  b
)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
)
110109ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
( a  u.  b
)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
)
111 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
112 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
113111, 112oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  (
v  +  u )  =  ( sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  +  sum_ y  e.  b  (
( F  |`  B ) `
 y ) ) )
114113adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( v  +  u
)  =  ( sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  + 
sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
11582, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  C_  A )
116115sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  a
)  ->  y  e.  A )
117 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  a
)  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  ( F `  y ) )
119118sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  a  ( F `  y )
)
120119adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  a  ( F `  y ) )
12189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  b  C_  B )
122121sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  y  e.  b
)  ->  y  e.  B )
123 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  y  e.  b
)  ->  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  ( F `  y ) )
125124sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  b  ( F `  y )
)
126125adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
)  =  sum_ y  e.  b  ( F `  y ) )
127120, 126oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  ( sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  + 
sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  =  (
sum_ y  e.  a  ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y ) ) )
128127adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  +  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y ) ) )
129114, 128eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( v  +  u
)  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y
) ) )
130129ad4ant23 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
( v  +  u
)  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y
) ) )
131 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  =  ( v  +  u ) )
132 sge0resplit.in0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
133132adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( A  i^i  B
)  =  (/) )
134115ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
a  C_  A )
135121adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)  ->  b  C_  B )
136135adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
b  C_  B )
137 ssin0 37301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  a  C_  A  /\  b  C_  B )  ->  (
a  i^i  b )  =  (/) )
138133, 134, 136, 137syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  i^i  b
)  =  (/) )
139 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  u.  b
)  =  ( a  u.  b ) )
140107adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( a  u.  b
)  e.  Fin )
141 rge0ssre 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
142 ax-resscn 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  RR  C_  CC
143141, 142sstri 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
1442, 27fge0iccico 38044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
145144ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
14696sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  y  e.  U )
147146adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  y  e.  U )
148145, 147ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
149143, 148sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  y  e.  ( a  u.  b
) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
150138, 139, 140, 149fsumsplit 13799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  ->  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `  y )  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y )
) )
151150ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  ->  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `  y )  =  ( sum_ y  e.  a  ( F `  y )  +  sum_ y  e.  b  ( F `  y )
) )
152130, 131, 1513eqtr4d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b
) ( F `  y ) )
153 sumeq1 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( a  u.  b )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `
 y ) )
154153eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( a  u.  b )  ->  (
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <->  r  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `  y ) ) )
155154rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  u.  b
)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  ( a  u.  b ) ( F `
 y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
156110, 152, 155syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
15755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  e.  _V )
15881, 156, 157elrnmptd 37347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  /\  ( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  /\  r  =  ( v  +  u ) )  -> 
r  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
159158ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
) )  /\  (
v  =  sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( r  =  ( v  +  u )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
160159ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )  -> 
( ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) )
161160ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  (
( v  =  sum_ y  e.  a  (
( F  |`  A ) `
 y )  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  (
r  =  ( v  +  u )  -> 
r  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) ) )
162161rexlimdvv 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) )
163162imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( v  = 
sum_ y  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  y
)  /\  u  =  sum_ y  e.  b  ( ( F  |`  B ) `
 y ) ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
16462, 80, 163syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ) )  ->  ( r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
165164ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )  -> 
( r  =  ( v  +  u )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) ) )
166165rexlimdvv 2924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
)  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
167166imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
16854, 61, 167syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )  -> 
r  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
169168ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( r  e.  {
z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  ->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
17081elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
171170ibi 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
172171adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
173 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
174 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
r
175 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
176175nfrn 5094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
177174, 176nfel 2598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
178173, 177nfan 1985 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
179 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
180179nfrn 5094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
181 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
182181nfrn 5094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
183 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x  r  =  ( v  +  u )
184182, 183nfrex 2889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
)
185180, 184nfrex 2889 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
)
186 inss2 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
187186sseli 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
A )  ->  y  e.  A )
188187adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  (
x  i^i  A )
)  ->  y  e.  A )
189117eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  A  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
190188, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  (
x  i^i  A )
)  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  A ) `
 y ) )
191190sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y ) )
192 sumeq1 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  z  (
( F  |`  A ) `
 y ) )
193192cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) )  =  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y
) )
194 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  x  e. 
_V
195194inex1 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
196195elpw 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  A )  C_  A
)
197186, 196mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  i^i  A )  e. 
~P A
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ~P A )
199 elinel2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
200 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  C_  x )
202 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  A ) 
C_  x )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  Fin )
203199, 201, 202syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  Fin )
204198, 203elind 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
205 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
) )
206 sumeq1 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y ) )
207206eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `
 y )  = 
sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
208207rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
209204, 205, 208syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  A ) `  y ) )
210 sumex 13747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  _V
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  _V )
212193, 209, 211elrnmptd 37347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
213191, 212eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
2142133ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) )
215 sumeq1 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  z  (
( F  |`  B ) `
 y ) )
216215cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) )  =  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
217 inss2 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
218194inex1 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
219218elpw 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  i^i  B )  e.  ~P B  <->  ( x  i^i  B )  C_  B
)
220217, 219mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  i^i  B )  e. 
~P B
221220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  ~P B )
222 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  B )  C_  x
223222a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  B )  C_  x )
224 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  B ) 
C_  x )  -> 
( x  i^i  B
)  e.  Fin )
225199, 223, 224syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
2262253ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  Fin )
227221, 226elind 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
228217sseli 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  y  e.  B )
229123eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
230228, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  B ) `  y
) )
231230sumeq2i 13758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y )
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y ) )
2332323adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y ) )
234 sumeq1 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y )  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y ) )
235234eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y )  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y
)  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
236235rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  i^i  B
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( ( F  |`  B ) `  y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
237227, 233, 236syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  =  sum_ y  e.  z  ( ( F  |`  B ) `  y ) )
238 sumex 13747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  _V
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  _V )
240216, 237, 239elrnmptd 37347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) )
241 simp3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
242186a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  i^i  A
)  C_  A )
243217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  i^i  B
)  C_  B )
244 ssin0 37301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  (
x  i^i  A )  C_  A  /\  ( x  i^i  B )  C_  B )  ->  (
( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  =  (/) )
245132, 242, 243, 244syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  =  (/) )
246245adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  =  (/) )
247 elinel1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P U )
248 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ~P U  ->  x  C_  U )
249247, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  C_  U )
2504ineq2i 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  i^i  U )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B )
)
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  (
x  i^i  U )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )
252 dfss 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x 
C_  U  <->  x  =  ( x  i^i  U ) )
253252biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  x  =  ( x  i^i 
U ) )
254 indi 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  B )
)
255254eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i 
B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B )
)
256255a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  (
( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )
257251, 253, 2563eqtr4d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x 
C_  U  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
258249, 257syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
259258adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
260199adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
261144ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
262249sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  U )
263262adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  U )
264261, 263ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
265143, 264sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
266246, 259, 260, 265fsumsplit 13799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
2672663adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
268241, 267eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
269 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `
 y )  +  u )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
270269eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  ->  ( r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  u
)  <->  r  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) ) )
271270rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) )  /\  r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) ) )  ->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) )
272240, 268, 271syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) )
273 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  ->  ( v  +  u )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) )
274273eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  ->  ( r  =  ( v  +  u )  <->  r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) ) )
275274rexbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  ->  ( E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) r  =  ( v  +  u )  <->  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  u ) ) )
276275rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) )  /\  E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y ) ) r  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  u
) )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
277214, 272, 276syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
2782773exp 1205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( r  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) ) )
279278adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) ) )
280178, 185, 279rexlimd 2910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
r  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) ) )
281172, 280mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) r  =  ( v  +  u
) )
282281, 59sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) E. u  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } )
283282ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } ) )
284169, 283impbid 194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( r  e.  {
z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
285284alrimiv 1764 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. r ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
286 dfcleq 2416 . . . . . 6  |-  ( { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  =  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  A. r ( r  e.  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  <->  r  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
287285, 286sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  |  E. v  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) E. u  e.  ran  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) }  =  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
288287supeq1d 7964 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { z  |  E. v  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
) ) E. u  e.  ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) z  =  ( v  +  u
) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  ) )
28926, 53, 2883eqtrrd 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
29013, 2, 14sge0supre 38063 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  ) )
29116, 23oveq12d 6321 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y ) ) ,  RR ,  <  ) +e sup ( ran  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  B ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
292289, 290, 2913eqtr4d 2474 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
293 rexadd 11527 . . 3  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR  /\  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
29415, 22, 293syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
295292, 294eqtrd 2464 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983   A.wal 1436    = wceq 1438    e. wcel 1869   {cab 2408    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   ran crn 4852    |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   supcsup 7958   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541    + caddc 9544   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678   +ecxad 11409   [,)cico 11639   [,]cicc 11640   sum_csu 13745  Σ^csumge0 38036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-xadd 11412  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38037
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