Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addval Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2 (𝜑𝑌𝑋)
Assertion
Ref Expression
pi1addval (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph𝐽) + [𝑁]( ≃ph𝐽)) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽))

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1addval.3 . . 3 (𝜑𝑀 𝐵)
2 pi1addval.4 . . 3 (𝜑𝑁 𝐵)
3 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
4 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
5 fvex 6113 . . . . . . 7 ( ≃ph𝐽) ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) ∈ V)
7 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
9 elpi1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
10 elpi1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11 elpi1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
12 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
13 elpi1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
159, 10, 11, 12, 14, 4pi1blem 22647 . . . . . . 7 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
1615simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
173, 4, 6, 8, 16qusin 16027 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
189, 10, 11, 12pi1val 22645 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
199, 10, 11, 12, 14, 4pi1buni 22648 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
2019sqxpeqd 5065 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
2120ineq2d 3776 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
2221oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
2317, 18, 223eqtr4d 2654 . . . 4 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
24 phtpcer 22602 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
2615simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
2719, 26eqsstrd 3602 . . . . 5 (𝜑 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
2825, 27erinxp 7708 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) Er 𝐵)
29 eqid 2610 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
30 eqid 2610 . . . . 5 (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
319, 10, 11, 14, 29, 12, 30pi1cpbl 22652 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
3212, 10, 11om1plusg 22642 . . . . . . 7 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3332adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3433oveqd 6566 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
3510adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3611adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑌𝑋)
3719adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
38 simprl 790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑐 𝐵)
39 simprr 792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑑 𝐵)
4012, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 22641 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) ∈ 𝐵)
4134, 40eqeltrrd 2689 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ 𝐵)
42 pi1addf.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4323, 19, 28, 8, 31, 41, 30, 42qusaddval 16036 . . 3 ((𝜑𝑀 𝐵𝑁 𝐵) → ([𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
441, 2, 43mpd3an23 1418 . 2 (𝜑 → ([𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4519imaeq2d 5385 . . . . 5 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐵) = (( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
4616, 45, 193sstr4d 3611 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵)
47 ecinxp 7709 . . . 4 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵𝑀 𝐵) → [𝑀]( ≃ph𝐽) = [𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4846, 1, 47syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → [𝑀]( ≃ph𝐽) = [𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
49 ecinxp 7709 . . . 4 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵𝑁 𝐵) → [𝑁]( ≃ph𝐽) = [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5046, 2, 49syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → [𝑁]( ≃ph𝐽) = [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5148, 50oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph𝐽) + [𝑁]( ≃ph𝐽)) = ([𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
5212, 10, 11, 19, 1, 2om1addcl 22641 . . . 4 (𝜑 → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑁) ∈ 𝐵)
53 ecinxp 7709 . . . 4 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑀(*𝑝𝐽)𝑁) ∈ 𝐵) → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5446, 52, 53syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5532oveqd 6566 . . . 4 (𝜑 → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑁) = (𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁))
5655eceq1d 7670 . . 3 (𝜑 → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5754, 56eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5844, 51, 573eqtr4d 2654 1 (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph𝐽) + [𝑁]( ≃ph𝐽)) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   × cxp 5036   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   Er wer 7626  [cec 7627  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   /s cqus 15988  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  IIcii 22486   ≃phcphtpc 22576  *𝑝cpco 22608   Ω1 comi 22609   π1 cpi1 22611 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pco 22613  df-om1 22614  df-pi1 22616 This theorem is referenced by:  pi1inv  22660  pi1xfr  22663  pi1coghm  22669
 Copyright terms: Public domain W3C validator