Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpcer Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpcer 22602
 Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
phtpcer ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Proof of Theorem phtpcer
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcrel 22600 . 2 Rel ( ≃ph𝐽)
2 isphtpc 22601 . . . 4 (𝑥( ≃ph𝐽)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅))
32simp2bi 1070 . . 3 (𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
42simp1bi 1069 . . 3 (𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
52simp3bi 1071 . . . . 5 (𝑥( ≃ph𝐽)𝑦 → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
6 n0 3890 . . . . 5 ((𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
75, 6sylib 207 . . . 4 (𝑥( ≃ph𝐽)𝑦 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
84adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
93adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
10 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣)))
11 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
128, 9, 10, 11phtpycom 22595 . . . . 5 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥))
13 ne0i 3880 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
157, 14exlimddv 1850 . . 3 (𝑥( ≃ph𝐽)𝑦 → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
16 isphtpc 22601 . . 3 (𝑦( ≃ph𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
173, 4, 15, 16syl3anbrc 1239 . 2 (𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)
184adantr 480 . . 3 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
19 simpr 476 . . . . 5 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → 𝑦( ≃ph𝐽)𝑧)
20 isphtpc 22601 . . . . 5 (𝑦( ≃ph𝐽)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
2119, 20sylib 207 . . . 4 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
2221simp2d 1067 . . 3 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
235adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
2423, 6sylib 207 . . . . 5 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
2521simp3d 1068 . . . . . 6 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
26 n0 3890 . . . . . 6 ((𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
2725, 26sylib 207 . . . . 5 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
28 eeanv 2170 . . . . 5 (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
2924, 27, 28sylanbrc 695 . . . 4 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → ∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
30 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1))))
3118adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
3221simp1d 1066 . . . . . . . . 9 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
3332adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
3422adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
35 simprl 790 . . . . . . . 8 (((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
36 simprr 792 . . . . . . . 8 (((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
3730, 31, 33, 34, 35, 36phtpycc 22598 . . . . . . 7 (((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧))
38 ne0i 3880 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
3937, 38syl 17 . . . . . 6 (((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
4039ex 449 . . . . 5 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → ((𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
4140exlimdvv 1849 . . . 4 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
4229, 41mpd 15 . . 3 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
43 isphtpc 22601 . . 3 (𝑥( ≃ph𝐽)𝑧 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
4418, 22, 42, 43syl3anbrc 1239 . 2 ((𝑥( ≃ph𝐽)𝑦𝑦( ≃ph𝐽)𝑧) → 𝑥( ≃ph𝐽)𝑧)
45 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑦))
46 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
4745, 46phtpyid 22596 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑦)) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥))
48 ne0i 3880 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑦)) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
4947, 48syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
5049ancli 572 . . . . 5 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
5150pm4.71ri 663 . . . 4 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
52 df-3an 1033 . . . 4 ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
53 3ancomb 1040 . . . 4 ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
5451, 52, 533bitr2i 287 . . 3 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
55 isphtpc 22601 . . 3 (𝑥( ≃ph𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
5654, 55bitr4i 266 . 2 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝑥( ≃ph𝐽)𝑥)
571, 17, 44, 56iseri 7656 1 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   Er wer 7626  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  [,]cicc 12049   Cn ccn 20838  IIcii 22486  PHtpycphtpy 22575   ≃phcphtpc 22576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599 This theorem is referenced by:  pcophtb  22637  pi1buni  22648  pi1addf  22655  pi1addval  22656  pi1grplem  22657  pi1inv  22660  pi1xfrf  22661  pi1xfr  22663  pi1xfrcnvlem  22664  pi1cof  22667  sconpi1  30475
 Copyright terms: Public domain W3C validator