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Theorem pi1addval 20579
Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1addf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pi1addval.3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
pi1addval.4  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
Assertion
Ref Expression
pi1addval  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )

Proof of Theorem pi1addval
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1addval.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
2 pi1addval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
3 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
4 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
5 fvex 5698 . . . . . . 7  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
7 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( J 
Om1  Y )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Om1  Y )  e.  _V )
9 elpi1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
10 elpi1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
11 elpi1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
12 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( J 
Om1  Y )  =  ( J  Om1  Y )
13 elpi1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
159, 10, 11, 12, 14, 4pi1blem 20570 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J
) ) )
1615simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
173, 4, 6, 8, 16divsin 14478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) ) )
189, 10, 11, 12pi1val 20568 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
199, 10, 11, 12, 14, 4pi1buni 20571 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
2019, 19xpeq12d 4861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. B  X.  U. B )  =  ( ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) )
2120ineq2d 3549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) )
2221oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) ) )
2317, 18, 223eqtr4d 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
24 phtpcer 20526 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2615simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J ) )
2719, 26eqsstrd 3387 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2825, 27erinxp 7170 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
29 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
30 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )
319, 10, 11, 14, 29, 12, 30pi1cpbl 20575 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
3212, 10, 11om1plusg 20565 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) )
3332adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) )
3433oveqd 6107 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) )
3510adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3611adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
3719adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
38 simprl 750 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  c  e.  U. B )
39 simprr 751 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  d  e.  U. B )
4012, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 20564 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  e.  U. B )
4134, 40eqeltrrd 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) d )  e. 
U. B )
42 pi1addf.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4323, 19, 28, 8, 31, 41, 30, 42divsaddval 14487 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  U. B  /\  N  e. 
U. B )  -> 
( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
441, 2, 43mpd3an23 1311 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4519imaeq2d 5166 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  =  ( ( 
~=ph  `  J ) "
( Base `  ( J  Om1  Y )
) ) )
4616, 45, 193sstr4d 3396 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
47 ecinxp 7171 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  M  e.  U. B )  ->  [ M ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4846, 1, 47syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  [ M ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
49 ecinxp 7171 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  N  e.  U. B )  ->  [ N ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5046, 2, 49syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  [ N ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5148, 50oveq12d 6108 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
5212, 10, 11, 19, 1, 2om1addcl 20564 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  e.  U. B
)
53 ecinxp 7171 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) N )  e.  U. B )  ->  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5446, 52, 53syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5532oveqd 6107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  =  ( M ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) N ) )
56 eceq1 7133 . . . 4  |-  ( ( M ( *p `  J ) N )  =  ( M ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) N )  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5854, 57eqtrd 2473 . 2  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5944, 51, 583eqtr4d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   U.cuni 4088    X. cxp 4834   "cima 4839   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    Er wer 7094   [cec 7095   Basecbs 14170   +g cplusg 14234    /.s cqus 14439  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787   IIcii 20410    ~=ph cphtpc 20500   *pcpco 20531    Om1 comi 20532    pi1 cpi1 20534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-divs 14443  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-ii 20412  df-htpy 20501  df-phtpy 20502  df-phtpc 20523  df-pco 20536  df-om1 20537  df-pi1 20539
This theorem is referenced by:  pi1inv  20583  pi1xfr  20586  pi1coghm  20592
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