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Theorem pi1addval 22079
Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1addf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pi1addval.3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
pi1addval.4  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
Assertion
Ref Expression
pi1addval  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )

Proof of Theorem pi1addval
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1addval.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
2 pi1addval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
3 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
4 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
5 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
7 ovex 6318 . . . . . . 7  |-  ( J 
Om1  Y )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Om1  Y )  e.  _V )
9 elpi1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
10 elpi1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
11 elpi1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
12 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( J 
Om1  Y )  =  ( J  Om1  Y )
13 elpi1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
159, 10, 11, 12, 14, 4pi1blem 22070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J
) ) )
1615simpld 461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
173, 4, 6, 8, 16qusin 15450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) ) )
189, 10, 11, 12pi1val 22068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
199, 10, 11, 12, 14, 4pi1buni 22071 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
2019sqxpeqd 4860 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. B  X.  U. B )  =  ( ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) )
2120ineq2d 3634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) )
2221oveq2d 6306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) ) )
2317, 18, 223eqtr4d 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
24 phtpcer 22026 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2615simprd 465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J ) )
2719, 26eqsstrd 3466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2825, 27erinxp 7437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
29 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
30 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )
319, 10, 11, 14, 29, 12, 30pi1cpbl 22075 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
3212, 10, 11om1plusg 22065 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) )
3332adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) )
3433oveqd 6307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) )
3510adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3611adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
3719adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
38 simprl 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  c  e.  U. B )
39 simprr 766 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  d  e.  U. B )
4012, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 22064 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  e.  U. B )
4134, 40eqeltrrd 2530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) d )  e. 
U. B )
42 pi1addf.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4323, 19, 28, 8, 31, 41, 30, 42qusaddval 15459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  U. B  /\  N  e. 
U. B )  -> 
( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
441, 2, 43mpd3an23 1366 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4519imaeq2d 5168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  =  ( ( 
~=ph  `  J ) "
( Base `  ( J  Om1  Y )
) ) )
4616, 45, 193sstr4d 3475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
47 ecinxp 7438 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  M  e.  U. B )  ->  [ M ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4846, 1, 47syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  [ M ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
49 ecinxp 7438 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  N  e.  U. B )  ->  [ N ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5046, 2, 49syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  [ N ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5148, 50oveq12d 6308 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
5212, 10, 11, 19, 1, 2om1addcl 22064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  e.  U. B
)
53 ecinxp 7438 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) N )  e.  U. B )  ->  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5446, 52, 53syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5532oveqd 6307 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  =  ( M ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) N ) )
5655eceq1d 7400 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5754, 56eqtrd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5844, 51, 573eqtr4d 2495 1  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   U.cuni 4198    X. cxp 4832   "cima 4837   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    Er wer 7360   [cec 7361   Basecbs 15121   +g cplusg 15190    /.s cqus 15404  TopOnctopon 19918    Cn ccn 20240   IIcii 21907    ~=ph cphtpc 22000   *pcpco 22031    Om1 comi 22032    pi1 cpi1 22034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-qus 15409  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-ii 21909  df-htpy 22001  df-phtpy 22002  df-phtpc 22023  df-pco 22036  df-om1 22037  df-pi1 22039
This theorem is referenced by:  pi1inv  22083  pi1xfr  22086  pi1coghm  22092
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