Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addval Structured version   Unicode version

 Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g
elpi1.b
elpi1.1 TopOn
elpi1.2
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
3 eqidd 2442 . . . . . 6 s s
4 eqidd 2442 . . . . . 6
5 fvex 5698 . . . . . . 7
65a1i 11 . . . . . 6
7 ovex 6115 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
9 elpi1.g . . . . . . . 8
10 elpi1.1 . . . . . . . 8 TopOn
11 elpi1.2 . . . . . . . 8
12 eqid 2441 . . . . . . . 8
13 elpi1.b . . . . . . . . 9
1413a1i 11 . . . . . . . 8
159, 10, 11, 12, 14, 4pi1blem 20570 . . . . . . 7
1615simpld 456 . . . . . 6
173, 4, 6, 8, 16divsin 14478 . . . . 5 s s
189, 10, 11, 12pi1val 20568 . . . . 5 s
199, 10, 11, 12, 14, 4pi1buni 20571 . . . . . . . 8
2019, 19xpeq12d 4861 . . . . . . 7
2120ineq2d 3549 . . . . . 6
2221oveq2d 6106 . . . . 5 s s
2317, 18, 223eqtr4d 2483 . . . 4 s
24 phtpcer 20526 . . . . . 6
2524a1i 11 . . . . 5
2615simprd 460 . . . . . 6
2719, 26eqsstrd 3387 . . . . 5
2825, 27erinxp 7170 . . . 4
29 eqid 2441 . . . . 5
30 eqid 2441 . . . . 5
319, 10, 11, 14, 29, 12, 30pi1cpbl 20575 . . . 4
3212, 10, 11om1plusg 20565 . . . . . . 7
3332adantr 462 . . . . . 6
3433oveqd 6107 . . . . 5
3510adantr 462 . . . . . 6 TopOn
3611adantr 462 . . . . . 6
3719adantr 462 . . . . . 6
38 simprl 750 . . . . . 6
39 simprr 751 . . . . . 6
4012, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 20564 . . . . 5
4134, 40eqeltrrd 2516 . . . 4
42 pi1addf.p . . . 4
4323, 19, 28, 8, 31, 41, 30, 42divsaddval 14487 . . 3
441, 2, 43mpd3an23 1311 . 2
4519imaeq2d 5166 . . . . 5
4616, 45, 193sstr4d 3396 . . . 4
47 ecinxp 7171 . . . 4
4846, 1, 47syl2anc 656 . . 3
49 ecinxp 7171 . . . 4
5046, 2, 49syl2anc 656 . . 3
5148, 50oveq12d 6108 . 2
5212, 10, 11, 19, 1, 2om1addcl 20564 . . . 4
53 ecinxp 7171 . . . 4
5446, 52, 53syl2anc 656 . . 3
5532oveqd 6107 . . . 4
56 eceq1 7133 . . . 4
5755, 56syl 16 . . 3
5854, 57eqtrd 2473 . 2
5944, 51, 583eqtr4d 2483 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1364   wcel 1761  cvv 2970   cin 3324   wss 3325  cuni 4088   cxp 4834  cima 4839  cfv 5415  (class class class)co 6090   wer 7094  cec 7095  cbs 14170   cplusg 14234   s cqus 14439  TopOnctopon 18458   ccn 18787  cii 20410   cphtpc 20500  cpco 20531   comi 20532   cpi1 20534 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-mulf 9358 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-divs 14443  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-ii 20412  df-htpy 20501  df-phtpy 20502  df-phtpc 20523  df-pco 20536  df-om1 20537  df-pi1 20539 This theorem is referenced by:  pi1inv  20583  pi1xfr  20586  pi1coghm  20592
 Copyright terms: Public domain W3C validator