Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addval Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g
elpi1.b
elpi1.1 TopOn
elpi1.2
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
3 eqidd 2452 . . . . . 6 s s
4 eqidd 2452 . . . . . 6
5 fvex 5875 . . . . . . 7
65a1i 11 . . . . . 6
7 ovex 6318 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
9 elpi1.g . . . . . . . 8
10 elpi1.1 . . . . . . . 8 TopOn
11 elpi1.2 . . . . . . . 8
12 eqid 2451 . . . . . . . 8
13 elpi1.b . . . . . . . . 9
1413a1i 11 . . . . . . . 8
159, 10, 11, 12, 14, 4pi1blem 22070 . . . . . . 7
1615simpld 461 . . . . . 6
173, 4, 6, 8, 16qusin 15450 . . . . 5 s s
189, 10, 11, 12pi1val 22068 . . . . 5 s
199, 10, 11, 12, 14, 4pi1buni 22071 . . . . . . . 8
2019sqxpeqd 4860 . . . . . . 7
2120ineq2d 3634 . . . . . 6
2221oveq2d 6306 . . . . 5 s s
2317, 18, 223eqtr4d 2495 . . . 4 s
24 phtpcer 22026 . . . . . 6
2524a1i 11 . . . . 5
2615simprd 465 . . . . . 6
2719, 26eqsstrd 3466 . . . . 5
2825, 27erinxp 7437 . . . 4
29 eqid 2451 . . . . 5
30 eqid 2451 . . . . 5
319, 10, 11, 14, 29, 12, 30pi1cpbl 22075 . . . 4
3212, 10, 11om1plusg 22065 . . . . . . 7
3332adantr 467 . . . . . 6
3433oveqd 6307 . . . . 5
3510adantr 467 . . . . . 6 TopOn
3611adantr 467 . . . . . 6
3719adantr 467 . . . . . 6
38 simprl 764 . . . . . 6
39 simprr 766 . . . . . 6
4012, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 22064 . . . . 5
4134, 40eqeltrrd 2530 . . . 4
42 pi1addf.p . . . 4
4323, 19, 28, 8, 31, 41, 30, 42qusaddval 15459 . . 3
441, 2, 43mpd3an23 1366 . 2
4519imaeq2d 5168 . . . . 5
4616, 45, 193sstr4d 3475 . . . 4
47 ecinxp 7438 . . . 4
4846, 1, 47syl2anc 667 . . 3
49 ecinxp 7438 . . . 4
5046, 2, 49syl2anc 667 . . 3
5148, 50oveq12d 6308 . 2
5212, 10, 11, 19, 1, 2om1addcl 22064 . . . 4
53 ecinxp 7438 . . . 4
5446, 52, 53syl2anc 667 . . 3
5532oveqd 6307 . . . 4
5655eceq1d 7400 . . 3
5754, 56eqtrd 2485 . 2
5844, 51, 573eqtr4d 2495 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045   cin 3403   wss 3404  cuni 4198   cxp 4832  cima 4837  cfv 5582  (class class class)co 6290   wer 7360  cec 7361  cbs 15121   cplusg 15190   s cqus 15404  TopOnctopon 19918   ccn 20240  cii 21907   cphtpc 22000  cpco 22031   comi 22032   cpi1 22034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-qus 15409  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-ii 21909  df-htpy 22001  df-phtpy 22002  df-phtpc 22023  df-pco 22036  df-om1 22037  df-pi1 22039 This theorem is referenced by:  pi1inv  22083  pi1xfr  22086  pi1coghm  22092
 Copyright terms: Public domain W3C validator