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Theorem pi1addval 19026
Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1addf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pi1addval.3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
pi1addval.4  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
Assertion
Ref Expression
pi1addval  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )

Proof of Theorem pi1addval
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1addval.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
2 pi1addval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
3 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
4 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
5 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
7 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( J 
Om 1  Y )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Om 1  Y )  e.  _V )
9 elpi1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
10 elpi1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
11 elpi1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
12 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( J 
Om 1  Y )  =  ( J  Om 1  Y )
13 elpi1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
159, 10, 11, 12, 14, 4pi1blem 19017 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J
) ) )
1615simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
173, 4, 6, 8, 16divsin 13724 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
189, 10, 11, 12pi1val 19015 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
199, 10, 11, 12, 14, 4pi1buni 19018 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
2019, 19xpeq12d 4862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. B  X.  U. B )  =  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) )
2120ineq2d 3502 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) )
2221oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
2317, 18, 223eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
24 phtpcer 18973 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2615simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J ) )
2719, 26eqsstrd 3342 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2825, 27erinxp 6937 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
29 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
30 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )
319, 10, 11, 14, 29, 12, 30pi1cpbl 19022 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) ) )
3212, 10, 11om1plusg 19012 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) )
3332adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) )
3433oveqd 6057 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) )
3510adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3611adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
3719adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
38 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  c  e.  U. B )
39 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  d  e.  U. B )
4012, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 19011 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  e.  U. B )
4134, 40eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) d )  e. 
U. B )
42 pi1addf.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4323, 19, 28, 8, 31, 41, 30, 42divsaddval 13733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  U. B  /\  N  e. 
U. B )  -> 
( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
441, 2, 43mpd3an23 1281 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4519imaeq2d 5162 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  =  ( ( 
~=ph  `  J ) "
( Base `  ( J  Om 1  Y )
) ) )
4616, 45, 193sstr4d 3351 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
47 ecinxp 6938 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  M  e.  U. B )  ->  [ M ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4846, 1, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  [ M ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
49 ecinxp 6938 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  N  e.  U. B )  ->  [ N ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5046, 2, 49syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  [ N ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5148, 50oveq12d 6058 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
5212, 10, 11, 19, 1, 2om1addcl 19011 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  e.  U. B
)
53 ecinxp 6938 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) N )  e.  U. B )  ->  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5446, 52, 53syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5532oveqd 6057 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  =  ( M ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) N ) )
56 eceq1 6900 . . . 4  |-  ( ( M ( *p `  J ) N )  =  ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N )  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5854, 57eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5944, 51, 583eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   U.cuni 3975    X. cxp 4835   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    Er wer 6861   [cec 6862   Basecbs 13424   +g cplusg 13484    /.s cqus 13686  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242   IIcii 18858    ~=ph cphtpc 18947   *pcpco 18978    Om 1 comi 18979    pi 1 cpi1 18981
This theorem is referenced by:  pi1inv  19030  pi1xfr  19033  pi1coghm  19039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pco 18983  df-om1 18984  df-pi1 18986
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