Theorem ocvin 19837

Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocv2ss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvin.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
ocvin.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvin	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

Proof of Theorem ocvin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		ocv2ss.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ocvi 19832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	ancoms 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9		simpll 786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑊 ∈ PreHil)
10		ocvin.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
11	1, 10	lssel 18759	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
12	11	ad2ant2lr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		ocvin.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14	3, 2, 1, 4, 13	ipeq0 19802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
15	9, 12, 14	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
16	8, 15	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 = 0 )
17	16	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 = 0 ))
18		elin 3758	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)))
19		velsn 4141	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
20	17, 18, 19	3imtr4g 284	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ { 0 }))
21	20	ssrdv 3574	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ { 0 })
22		phllmod 19794	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ LMod)
24	1, 10	lssss 18758	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
25	1, 5, 10	ocvlss 19835	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
26	24, 25	sylan2 490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
27	10	lssincl 18786	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
28	22, 27	syl3an1 1351	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
29	26, 28	mpd3an3 1417	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
30	13, 10	lss0ss 18770	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
31	23, 29, 30	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
32	21, 31	eqssd 3585	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  ·_𝑖cip 15773  0_gc0g 15923  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  PreHilcphl 19788  ocvcocv 19823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-phl 19790  df-ocv 19826

This theorem is referenced by:  ocv1  19842  pjdm2  19874  pjff  19875  pjf2  19877  pjfo  19878  obselocv  19891