MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvin Structured version   Unicode version

Theorem ocvin 18895
Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocv2ss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
ocvin.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
ocvin.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvin  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem ocvin
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
5 ocv2ss.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 2, 3, 4, 5ocvi 18890 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  (  ._|_  `  S )  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
76ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
87adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  (
x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
9 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  W  e.  PreHil )
10 ocvin.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
111, 10lssel 17796 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  L  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  W ) )
1211ad2ant2lr 746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  W
) )
13 ocvin.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
143, 2, 1, 4, 13ipeq0 18863 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  x  =  .0.  ) )
159, 12, 14syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  (
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  x  =  .0.  ) )
168, 15mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  x  =  .0.  )
1716ex 432 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (
( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) )  ->  x  =  .0.  ) )
18 elin 3625 . . . 4  |-  ( x  e.  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
)  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )
19 elsn 3985 . . . 4  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
2017, 18, 193imtr4g 270 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (
x  e.  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
2120ssrdv 3447 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  C_  {  .0.  } )
22 phllmod 18855 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2322adantr 463 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  W  e.  LMod )
241, 10lssss 17795 . . . . 5  |-  ( S  e.  L  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
251, 5, 10ocvlss 18893 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  ( Base `  W
) )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  L )
2624, 25sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  L )
2710lssincl 17823 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  L  /\  (  ._|_  `  S )  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
2822, 27syl3an1 1263 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L  /\  (  ._|_  `  S )  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
2926, 28mpd3an3 1327 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
3013, 10lss0ss 17807 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)  ->  {  .0.  } 
C_  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
) )
3123, 29, 30syl2anc 659 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  {  .0.  } 
C_  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
) )
3221, 31eqssd 3458 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3412    C_ wss 3413   {csn 3971   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733  Scalarcsca 14804   .icip 14806   0gc0g 14946   LModclmod 17724   LSubSpclss 17790   PreHilcphl 18849   ocvcocv 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-ghm 16481  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lmhm 17880  df-lvec 17961  df-sra 18030  df-rgmod 18031  df-phl 18851  df-ocv 18884
This theorem is referenced by:  ocv1  18900  pjdm2  18932  pjff  18933  pjf2  18935  pjfo  18936  obselocv  18949
  Copyright terms: Public domain W3C validator