MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvin Structured version   Unicode version

Theorem ocvin 18208
Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocv2ss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
ocvin.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
ocvin.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvin  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem ocvin
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
5 ocv2ss.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 2, 3, 4, 5ocvi 18203 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  (  ._|_  `  S )  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
76ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
87adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  (
x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
9 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  W  e.  PreHil )
10 ocvin.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
111, 10lssel 17125 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  L  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  W ) )
1211ad2ant2lr 747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  W
) )
13 ocvin.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
143, 2, 1, 4, 13ipeq0 18176 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  x  =  .0.  ) )
159, 12, 14syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  (
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  x  =  .0.  ) )
168, 15mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  x  =  .0.  )
1716ex 434 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (
( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) )  ->  x  =  .0.  ) )
18 elin 3637 . . . 4  |-  ( x  e.  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
)  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )
19 elsn 3989 . . . 4  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
2017, 18, 193imtr4g 270 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (
x  e.  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
2120ssrdv 3460 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  C_  {  .0.  } )
22 phllmod 18168 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2322adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  W  e.  LMod )
241, 10lssss 17124 . . . . 5  |-  ( S  e.  L  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
251, 5, 10ocvlss 18206 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  ( Base `  W
) )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  L )
2624, 25sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  L )
2710lssincl 17152 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  L  /\  (  ._|_  `  S )  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
2822, 27syl3an1 1252 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L  /\  (  ._|_  `  S )  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
2926, 28mpd3an3 1316 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
3013, 10lss0ss 17136 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)  ->  {  .0.  } 
C_  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
) )
3123, 29, 30syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  {  .0.  } 
C_  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
) )
3221, 31eqssd 3471 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3425    C_ wss 3426   {csn 3975   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276  Scalarcsca 14343   .icip 14345   0gc0g 14480   LModclmod 17054   LSubSpclss 17119   PreHilcphl 18162   ocvcocv 18194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-ghm 15847  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-lmhm 17209  df-lvec 17290  df-sra 17359  df-rgmod 17360  df-phl 18164  df-ocv 18197
This theorem is referenced by:  ocv1  18213  pjdm2  18245  pjff  18246  pjf2  18248  pjfo  18249  obselocv  18262
  Copyright terms: Public domain W3C validator