Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstrlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstrlem3a 28503
 Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hstrlem3a.1 𝑆 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))
Assertion
Ref Expression
hstrlem3a ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)
Distinct variable group:   𝑥,𝑢
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem hstrlem3a
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhcl 27644 . . . . 5 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
21ancoms 468 . . . 4 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑥C ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
32adantlr 747 . . 3 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
4 hstrlem3a.1 . . 3 𝑆 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))
53, 4fmptd 6292 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆: C ⟶ ℋ)
6 helch 27484 . . . . 5 ℋ ∈ C
74hstrlem2 28502 . . . . 5 ( ℋ ∈ C → (𝑆‘ ℋ) = ((proj‘ ℋ)‘𝑢))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (𝑆‘ ℋ) = ((proj‘ ℋ)‘𝑢)
98fveq2i 6106 . . 3 (norm‘(𝑆‘ ℋ)) = (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))
10 pjch1 27913 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → ((proj‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
1110fveq2d 6107 . . . 4 (𝑢 ∈ ℋ → (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢)) = (norm𝑢))
12 id 22 . . . 4 ((norm𝑢) = 1 → (norm𝑢) = 1)
1311, 12sylan9eq 2664 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢)) = 1)
149, 13syl5eq 2656 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (norm‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
154hstrlem2 28502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧C → (𝑆𝑧) = ((proj𝑧)‘𝑢))
164hstrlem2 28502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤C → (𝑆𝑤) = ((proj𝑤)‘𝑢))
1715, 16oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → ((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) ·ih ((proj𝑤)‘𝑢)))
18173adant3 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) ·ih ((proj𝑤)‘𝑢)))
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) ·ih ((proj𝑤)‘𝑢)))
20 pjoi0 27960 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((proj𝑧)‘𝑢) ·ih ((proj𝑤)‘𝑢)) = 0)
2119, 20eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0)
22 pjcjt2 27935 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
2322imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
24 chjcl 27600 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧C𝑤C ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
254hstrlem2 28502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 𝑤) ∈ C → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))
27263adant3 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))
2915, 16oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
30293adant3 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
3223, 28, 313eqtr4d 2654 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))
3321, 32jca 553 . . . . . . 7 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))
34333exp1 1275 . . . . . 6 (𝑧C → (𝑤C → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))))
3534com3r 85 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))))
3635adantr 480 . . . 4 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))))
3736ralrimdv 2951 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → ∀𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
3837ralrimiv 2948 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
39 ishst 28457 . 2 (𝑆 ∈ CHStates ↔ (𝑆: C ⟶ ℋ ∧ (norm‘(𝑆‘ ℋ)) = 1 ∧ ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
405, 14, 38, 39syl3anbrc 1239 1 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ih csp 27163  normℎcno 27164   Cℋ cch 27170  ⊥cort 27171   ∨ℋ chj 27174  projℎcpjh 27178  CHStateschst 27204 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-shs 27551  df-chj 27553  df-pjh 27638  df-hst 28455 This theorem is referenced by:  hstrlem3  28504
 Copyright terms: Public domain W3C validator