Theorem helch 27484

Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
helch	⊢ ℋ ∈ Cℋ

Proof of Theorem helch

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3587	. . . 4 ⊢ ℋ ⊆ ℋ
2		ax-hv0cl 27244	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)
4		hvaddcl 27253	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
5	4	rgen2a 2960	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ
6		hvmulcl 27254	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
7	6	rgen2 2958	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ
8	5, 7	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		issh2 27450	. . 3 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ ↔ (( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) ∧ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)))
10	3, 8, 9	mpbir2an 957	. 2 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
11		vex 3176	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
12	11	hlimveci 27431	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
14	13	gen2 1714	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
15		isch2 27464	. 2 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ ↔ ( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)))
16	10, 14, 15	mpbir2an 957	1 ⊢ ℋ ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1473   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℕcn 10897   ℋchil 27160   +_ℎ cva 27161   ·_ℎ csm 27162  0_ℎc0v 27165   ⇝_𝑣 chli 27168   S_ℋ csh 27169   C_ℋ cch 27170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-map 7746  df-nn 10898  df-hlim 27213  df-sh 27448  df-ch 27462

This theorem is referenced by:  ifchhv  27485  helsh  27486  ococin  27651  chj1i  27732  hne0  27790  pjch1  27913  pjo  27914  pjsslem  27922  ho0val  27993  dfiop2  27996  hoid1i  28032  hoid1ri  28033  pjtoi  28422  pjoci  28423  pjclem3  28440  hst0  28476  st0  28492  strlem3a  28495  hstrlem3a  28503  stcltr2i  28518