HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstrlem3a Structured version   Unicode version

Theorem hstrlem3a 26883
Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function  S, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hstrlem3a.1  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( proj h `  x ) `  u
) )
Assertion
Ref Expression
hstrlem3a  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  CHStates )
Distinct variable group:    x, u
Allowed substitution hints:    S( x, u)

Proof of Theorem hstrlem3a
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhcl 26023 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
21ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
32adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
4 hstrlem3a.1 . . 3  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( proj h `  x ) `  u
) )
53, 4fmptd 6045 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S : CH --> ~H )
6 helch 25865 . . . . 5  |-  ~H  e.  CH
74hstrlem2 26882 . . . . 5  |-  ( ~H  e.  CH  ->  ( S `  ~H )  =  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( S `
 ~H )  =  ( ( proj h `  ~H ) `  u )
98fveq2i 5869 . . 3  |-  ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  (
normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) )
10 pjch1 26292 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ~H ) `  u )  =  u )
1110fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) )  =  ( normh `  u )
)
12 id 22 . . . 4  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( normh `  u )  =  1 )
1311, 12sylan9eq 2528 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) )  =  1 )
149, 13syl5eq 2520 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1 )
154hstrlem2 26882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  CH  ->  ( S `  z )  =  ( ( proj h `  z ) `  u ) )
164hstrlem2 26882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  CH  ->  ( S `  w )  =  ( ( proj h `  w ) `  u ) )
1715, 16oveqan12d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  .ih  ( ( proj h `  w ) `
 u ) ) )
18173adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( S `  z
)  .ih  ( S `  w ) )  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u )  .ih  (
( proj h `  w ) `  u
) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  .ih  ( ( proj h `  w ) `
 u ) ) )
20 pjoi0 26339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( ( proj h `  z ) `  u )  .ih  (
( proj h `  w ) `  u
) )  =  0 )
2119, 20eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  0 )
22 pjcjt2 26314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) )
2322imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) )
24 chjcl 25979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( z  vH  w
)  e.  CH )
254hstrlem2 26882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  vH  w )  e.  CH  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( (
proj h `  ( z  vH  w ) ) `
 u ) )
27263adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) )
2827adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( (
proj h `  ( z  vH  w ) ) `
 u ) )
2915, 16oveqan12d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w )
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) )
30293adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( S `  z
)  +h  ( S `
 w ) )  =  ( ( (
proj h `  z ) `
 u )  +h  ( ( proj h `  w ) `  u
) ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( S `  z )  +h  ( S `  w )
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) )
3223, 28, 313eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) )
3321, 32jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( ( S `
 z )  .ih  ( S `  w ) )  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) )
34333exp1 1212 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CH  ->  (
w  e.  CH  ->  ( u  e.  ~H  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) ) )
3534com3r 79 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) ) )
3635adantr 465 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( ( ( S `
 z )  .ih  ( S `  w ) )  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) ) )
3736ralrimdv 2880 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  A. w  e.  CH  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( ( ( S `
 z )  .ih  ( S `  w ) )  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) )
3837ralrimiv 2876 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  A. z  e.  CH  A. w  e.  CH  ( z 
C_  ( _|_ `  w
)  ->  ( (
( S `  z
)  .ih  ( S `  w ) )  =  0  /\  ( S `
 ( z  vH  w ) )  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w )
) ) ) )
39 ishst 26837 . 2  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. z  e.  CH  A. w  e.  CH  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) )
405, 14, 38, 39syl3anbrc 1180 1  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  CHStates )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   1c1 9493   ~Hchil 25540    +h cva 25541    .ih csp 25543   normhcno 25544   CHcch 25550   _|_cort 25551    vH chj 25554   proj hcpjh 25558   CHStateschst 25584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875  df-shs 25930  df-chj 25932  df-pjh 26017  df-hst 26835
This theorem is referenced by:  hstrlem3  26884
  Copyright terms: Public domain W3C validator