Theorem h1datomi 27824

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
h1datom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chne0i 27696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)
3		ssel 3562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
5	4	h1de2ci 27799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵))
6		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
7		ax-hvmul0 27251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ
9	6, 8	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
10		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = 0ℎ ↔ (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
11	9, 10	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
12	11	necon3d 2803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
14		reccl 10571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
15	1	chshii 27468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
16		shmulcl 27459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
17	15, 16	mp3an1 1403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
18	17	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
21		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
22		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		ax-hvmulass 27248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
24	4, 23	mp3an3 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
25	14, 22, 24	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
26		recid2 10579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · 𝑦) = 1)
27	26	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
28	25, 27	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = (1 ·ℎ 𝐵))
29		ax-hvmulid 27247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
31	28, 30	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
32	21, 31	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = 𝐵)
33	32	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
34	20, 33	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
35	34	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
36	35	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
37	36	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
38	13, 37	syld 46	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
39	38	com3r 85	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
40	39	expd 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))))
41	40	rexlimdv 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
42	5, 41	syl5bi 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
43	3, 42	sylcom 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
44	43	rexlimdv 3012	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))
45	2, 44	syl5bi 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐵 ∈ 𝐴))
46		snssi 4280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
47		snssi 4280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
49	1	chssii 27472	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
50	48, 49	occon2i 27532	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
52	1	ococi 27648	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
53	51, 52	syl6sseq 3614	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)
54	45, 53	syl6 34	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
55	54	anc2li 578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)))
56		eqss 3583	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
57	55, 56	syl6ibr 241	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
58	57	necon1d 2804	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
59		neor 2873	. 2 ⊢ ((𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ) ↔ (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
60	58, 59	sylibr 223	1 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563   ℋchil 27160   ·_ℎ csm 27162  0_ℎc0v 27165   S_ℋ csh 27169   C_ℋ cch 27170  ⊥cort 27171  0_ℋc0h 27176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494

This theorem is referenced by:  h1datom  27825