Theorem chssii 27472

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 27468	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 27454	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   ℋchil 27160   C_ℋ cch 27170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-hilex 27240

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-sh 27448  df-ch 27462

This theorem is referenced by:  cheli  27473  chelii  27474  hhsscms  27520  chocvali  27542  chm1i  27699  chsscon3i  27704  chsscon2i  27706  chjoi  27731  chj1i  27732  shjshsi  27735  sshhococi  27789  h1dei  27793  spansnpji  27821  spanunsni  27822  h1datomi  27824  spansnji  27889  pjfi  27947  riesz3i  28305  hmopidmpji  28395  pjoccoi  28421  pjinvari  28434  stcltr2i  28518  mdsymi  28654  mdcompli  28672  dmdcompli  28673