Theorem h1datomi 26477

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	|- A e. CH
h1datom.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	|- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 |- A e. CH
2	1	chne0i 26349	. . . . . . 7 |- ( A =/= 0H <-> E. x e. A x =/= 0h )
3		ssel 3483	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. ~H
5	4	h1de2ci 26452	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> E. y e. CC x = ( y .h B ) )
6		oveq1 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = ( 0 .h B ) )
7		ax-hvmul0 25905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ~H -> ( 0 .h B ) = 0h )
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 .h B ) = 0h
9	6, 8	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = 0h )
10		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x = 0h <-> ( y .h B ) = 0h ) )
11	9, 10	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y .h B ) -> ( y = 0 -> x = 0h ) )
12	11	necon3d 2667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
13	12	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
14		reccl 10221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. CC )
15	1	chshii 26123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- A e. SH
16		shmulcl 26113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. SH /\ ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
17	15, 16	mp3an1 1312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
18	17	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
19	14, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
21		oveq2 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y .h B ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
22		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> y e. CC )
23		ax-hvmulass 25902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
24	4, 23	mp3an3 1314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
25	14, 22, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
26		recid2 10229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) x. y ) = 1 )
27	26	oveq1d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( 1 .h B ) )
28	25, 27	eqtr3d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = ( 1 .h B ) )
29		ax-hvmulid 25901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ~H -> ( 1 .h B ) = B )
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 .h B ) = B
31	28, 30	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = B )
32	21, 31	sylan9eqr 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = B )
33	32	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( ( 1 / y ) .h x ) e. A <-> B e. A ) )
34	20, 33	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> B e. A ) )
35	34	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( y =/= 0 -> ( x = ( y .h B ) -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
36	35	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
37	36	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
38	13, 37	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
39	38	com3r 79	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
40	39	expd 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) ) )
41	40	rexlimdv 2933	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( E. y e. CC x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
42	5, 41	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
43	3, 42	sylcom 29	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
44	43	rexlimdv 2933	. . . . . . 7 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( E. x e. A x =/= 0h -> B e. A ) )
45	2, 44	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> B e. A ) )
46		snssi 4159	. . . . . . . 8 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
47		snssi 4159	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ~H -> { B } C_ ~H )
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { B } C_ ~H
49	1	chssii 26127	. . . . . . . . 9 |- A C_ ~H
50	48, 49	occon2i 26185	. . . . . . . 8 |- ( { B } C_ A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
51	46, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
52	1	ococi 26301	. . . . . . 7 |- ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) = A
53	51, 52	syl6sseq 3535	. . . . . 6 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A )
54	45, 53	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
55	54	anc2li 557	. . . 4 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) ) )
56		eqss 3504	. . . 4 |- ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
57	55, 56	syl6ibr 227	. . 3 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
58	57	necon1d 2668	. 2 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
59		neor 2767	. 2 |- ( ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) <-> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
60	58, 59	sylibr 212	1 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   E.wrex 2794   C_ wss 3461   {csn 4014   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496   x. cmul 9500   / cdiv 10213   ~Hchil 25814   .h csm 25816   0hc0v 25819   SHcsh 25823   CHcch 25824   _|_cort 25825   0Hc0h 25830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575  ax-hilex 25894  ax-hfvadd 25895  ax-hvcom 25896  ax-hvass 25897  ax-hv0cl 25898  ax-hvaddid 25899  ax-hfvmul 25900  ax-hvmulid 25901  ax-hvmulass 25902  ax-hvdistr1 25903  ax-hvdistr2 25904  ax-hvmul0 25905  ax-hfi 25974  ax-his1 25977  ax-his2 25978  ax-his3 25979  ax-his4 25980  ax-hcompl 26097

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-lm 19708  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cfil 21672  df-cau 21673  df-cmet 21674  df-grpo 25171  df-gid 25172  df-ginv 25173  df-gdiv 25174  df-ablo 25262  df-subgo 25282  df-vc 25417  df-nv 25463  df-va 25466  df-ba 25467  df-sm 25468  df-0v 25469  df-vs 25470  df-nmcv 25471  df-ims 25472  df-dip 25589  df-ssp 25613  df-ph 25706  df-cbn 25757  df-hnorm 25863  df-hba 25864  df-hvsub 25866  df-hlim 25867  df-hcau 25868  df-sh 26102  df-ch 26117  df-oc 26148  df-ch0 26149

This theorem is referenced by:  h1datom  26478