Theorem h1datomi 26616

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	|- A e. CH
h1datom.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	|- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 |- A e. CH
2	1	chne0i 26488	. . . . . . 7 |- ( A =/= 0H <-> E. x e. A x =/= 0h )
3		ssel 3411	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. ~H
5	4	h1de2ci 26591	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> E. y e. CC x = ( y .h B ) )
6		oveq1 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = ( 0 .h B ) )
7		ax-hvmul0 26044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ~H -> ( 0 .h B ) = 0h )
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 .h B ) = 0h
9	6, 8	syl6eq 2439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = 0h )
10		eqeq1 2386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x = 0h <-> ( y .h B ) = 0h ) )
11	9, 10	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y .h B ) -> ( y = 0 -> x = 0h ) )
12	11	necon3d 2606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
13	12	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
14		reccl 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. CC )
15	1	chshii 26262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- A e. SH
16		shmulcl 26252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. SH /\ ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
17	15, 16	mp3an1 1309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
18	17	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
19	14, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
20	19	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
21		oveq2 6204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y .h B ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
22		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> y e. CC )
23		ax-hvmulass 26041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
24	4, 23	mp3an3 1311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
25	14, 22, 24	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
26		recid2 10139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) x. y ) = 1 )
27	26	oveq1d 6211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( 1 .h B ) )
28	25, 27	eqtr3d 2425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = ( 1 .h B ) )
29		ax-hvmulid 26040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ~H -> ( 1 .h B ) = B )
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 .h B ) = B
31	28, 30	syl6eq 2439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = B )
32	21, 31	sylan9eqr 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = B )
33	32	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( ( 1 / y ) .h x ) e. A <-> B e. A ) )
34	20, 33	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> B e. A ) )
35	34	exp31 602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( y =/= 0 -> ( x = ( y .h B ) -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
36	35	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
37	36	imp 427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
38	13, 37	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
39	38	com3r 79	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
40	39	expd 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) ) )
41	40	rexlimdv 2872	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( E. y e. CC x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
42	5, 41	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
43	3, 42	sylcom 29	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
44	43	rexlimdv 2872	. . . . . . 7 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( E. x e. A x =/= 0h -> B e. A ) )
45	2, 44	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> B e. A ) )
46		snssi 4088	. . . . . . . 8 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
47		snssi 4088	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ~H -> { B } C_ ~H )
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { B } C_ ~H
49	1	chssii 26266	. . . . . . . . 9 |- A C_ ~H
50	48, 49	occon2i 26324	. . . . . . . 8 |- ( { B } C_ A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
51	46, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
52	1	ococi 26440	. . . . . . 7 |- ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) = A
53	51, 52	syl6sseq 3463	. . . . . 6 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A )
54	45, 53	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
55	54	anc2li 555	. . . 4 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) ) )
56		eqss 3432	. . . 4 |- ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
57	55, 56	syl6ibr 227	. . 3 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
58	57	necon1d 2607	. 2 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
59		neor 2706	. 2 |- ( ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) <-> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
60	58, 59	sylibr 212	1 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   E.wrex 2733   C_ wss 3389   {csn 3944   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404   x. cmul 9408   / cdiv 10123   ~Hchil 25953   .h csm 25955   0hc0v 25958   SHcsh 25962   CHcch 25963   _|_cort 25964   0Hc0h 25969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483  ax-hilex 26033  ax-hfvadd 26034  ax-hvcom 26035  ax-hvass 26036  ax-hv0cl 26037  ax-hvaddid 26038  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulid 26040  ax-hvmulass 26041  ax-hvdistr1 26042  ax-hvdistr2 26043  ax-hvmul0 26044  ax-hfi 26113  ax-his1 26116  ax-his2 26117  ax-his3 26118  ax-his4 26119  ax-hcompl 26236

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-lm 19816  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cfil 21779  df-cau 21780  df-cmet 21781  df-grpo 25310  df-gid 25311  df-ginv 25312  df-gdiv 25313  df-ablo 25401  df-subgo 25421  df-vc 25556  df-nv 25602  df-va 25605  df-ba 25606  df-sm 25607  df-0v 25608  df-vs 25609  df-nmcv 25610  df-ims 25611  df-dip 25728  df-ssp 25752  df-ph 25845  df-cbn 25896  df-hnorm 26002  df-hba 26003  df-hvsub 26005  df-hlim 26006  df-hcau 26007  df-sh 26241  df-ch 26256  df-oc 26287  df-ch0 26288

This theorem is referenced by:  h1datom  26617