Theorem h1datomi 27227

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	|- A e. CH
h1datom.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	|- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 |- A e. CH
2	1	chne0i 27099	. . . . . . 7 |- ( A =/= 0H <-> E. x e. A x =/= 0h )
3		ssel 3425	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. ~H
5	4	h1de2ci 27202	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> E. y e. CC x = ( y .h B ) )
6		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = ( 0 .h B ) )
7		ax-hvmul0 26656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ~H -> ( 0 .h B ) = 0h )
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 .h B ) = 0h
9	6, 8	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = 0h )
10		eqeq1 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x = 0h <-> ( y .h B ) = 0h ) )
11	9, 10	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y .h B ) -> ( y = 0 -> x = 0h ) )
12	11	necon3d 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
13	12	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
14		reccl 10274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. CC )
15	1	chshii 26873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- A e. SH
16		shmulcl 26864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. SH /\ ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
17	15, 16	mp3an1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
18	17	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
20	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
21		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y .h B ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
22		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> y e. CC )
23		ax-hvmulass 26653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
24	4, 23	mp3an3 1352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
25	14, 22, 24	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
26		recid2 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) x. y ) = 1 )
27	26	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( 1 .h B ) )
28	25, 27	eqtr3d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = ( 1 .h B ) )
29		ax-hvmulid 26652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ~H -> ( 1 .h B ) = B )
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 .h B ) = B
31	28, 30	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = B )
32	21, 31	sylan9eqr 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = B )
33	32	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( ( 1 / y ) .h x ) e. A <-> B e. A ) )
34	20, 33	sylibd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> B e. A ) )
35	34	exp31 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( y =/= 0 -> ( x = ( y .h B ) -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
36	35	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
37	36	imp 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
38	13, 37	syld 45	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
39	38	com3r 82	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
40	39	expd 438	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) ) )
41	40	rexlimdv 2876	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( E. y e. CC x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
42	5, 41	syl5bi 221	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
43	3, 42	sylcom 30	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
44	43	rexlimdv 2876	. . . . . . 7 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( E. x e. A x =/= 0h -> B e. A ) )
45	2, 44	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> B e. A ) )
46		snssi 4115	. . . . . . . 8 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
47		snssi 4115	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ~H -> { B } C_ ~H )
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { B } C_ ~H
49	1	chssii 26877	. . . . . . . . 9 |- A C_ ~H
50	48, 49	occon2i 26935	. . . . . . . 8 |- ( { B } C_ A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
52	1	ococi 27051	. . . . . . 7 |- ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) = A
53	51, 52	syl6sseq 3477	. . . . . 6 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A )
54	45, 53	syl6 34	. . . . 5 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
55	54	anc2li 560	. . . 4 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) ) )
56		eqss 3446	. . . 4 |- ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
57	55, 56	syl6ibr 231	. . 3 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
58	57	necon1d 2645	. 2 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
59		neor 2714	. 2 |- ( ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) <-> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
60	58, 59	sylibr 216	1 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   E.wrex 2737   C_ wss 3403   {csn 3967   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537   x. cmul 9541   / cdiv 10266   ~Hchil 26565   .h csm 26567   0hc0v 26570   SHcsh 26574   CHcch 26575   _|_cort 26576   0Hc0h 26581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731  ax-hcompl 26848

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-lm 20238  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-subgo 26023  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-dip 26330  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498  df-hnorm 26614  df-hba 26615  df-hvsub 26617  df-hlim 26618  df-hcau 26619  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899

This theorem is referenced by:  h1datom  27228