HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Unicode version

Theorem h1datomi 26477
Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1  |-  A  e. 
CH
h1datom.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
h1datomi  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  \/  A  =  0H ) )

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
21chne0i 26349 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  0H  <->  E. x  e.  A  x  =/=  0h )
3 ssel 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
~H
54h1de2ci 26452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  B ) )
6 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0  ->  (
y  .h  B )  =  ( 0  .h  B ) )
7 ax-hvmul0 25905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
0  .h  B )  =  0h )
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  .h  B )  =  0h
96, 8syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0  ->  (
y  .h  B )  =  0h )
10 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
x  =  0h  <->  ( y  .h  B )  =  0h ) )
119, 10syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
y  =  0  ->  x  =  0h )
)
1211necon3d 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
x  =/=  0h  ->  y  =/=  0 ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  -> 
( x  =/=  0h  ->  y  =/=  0 ) )
14 reccl 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
151chshii 26123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  A  e.  SH
16 shmulcl 26113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  x  e.  A )  ->  ( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A )
1715, 16mp3an1 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  x  e.  A )  ->  ( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A )
1817ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A ) )
1914, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A ) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( 1  /  y )  .h  x )  e.  A ) )
21 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
( 1  /  y
)  .h  x )  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B
) ) )
22 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
y  e.  CC )
23 ax-hvmulass 25902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
y )  x.  y
)  .h  B )  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B
) ) )
244, 23mp3an3 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  /  y )  x.  y )  .h  B
)  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B ) ) )
2514, 22, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( ( 1  /  y )  x.  y )  .h  B
)  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B ) ) )
26 recid2 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
y )  x.  y
)  =  1 )
2726oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( ( 1  /  y )  x.  y )  .h  B
)  =  ( 1  .h  B ) )
2825, 27eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
y )  .h  (
y  .h  B ) )  =  ( 1  .h  B ) )
29 ax-hvmulid 25901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
1  .h  B )  =  B )
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  .h  B )  =  B
3128, 30syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
y )  .h  (
y  .h  B ) )  =  B )
3221, 31sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( (
1  /  y )  .h  x )  =  B )
3332eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( (
( 1  /  y
)  .h  x )  e.  A  <->  B  e.  A ) )
3420, 33sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) )
3534exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y  =/=  0  -> 
( x  =  ( y  .h  B )  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) ) )
3635com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  (
x  =  ( y  .h  B )  -> 
( y  =/=  0  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) ) )
3736imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  -> 
( y  =/=  0  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) )
3813, 37syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  -> 
( x  =/=  0h  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) )
3938com3r 79 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( x  =/= 
0h  ->  B  e.  A
) ) )
4039expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  e.  CC  ->  ( x  =  ( y  .h  B )  -> 
( x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) ) )
4140rexlimdv 2933 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  B )  ->  (
x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) )
425, 41syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  -> 
( x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) )
433, 42sylcom 29 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) )
4443rexlimdv 2933 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( E. x  e.  A  x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) )
452, 44syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  B  e.  A ) )
46 snssi 4159 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  { B }  C_  A )
47 snssi 4159 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { B }  C_  ~H
491chssii 26127 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ~H
5048, 49occon2i 26185 . . . . . . . 8  |-  ( { B }  C_  A  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
5146, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
521ococi 26301 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A
5351, 52syl6sseq 3535 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A )
5445, 53syl6 33 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A ) )
5554anc2li 557 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  /\  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A ) ) )
56 eqss 3504 . . . 4  |-  ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  ( A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  /\  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A ) )
5755, 56syl6ibr 227 . . 3  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) ) )
5857necon1d 2668 . 2  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  A  =  0H ) )
59 neor 2767 . 2  |-  ( ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  \/  A  =  0H )  <-> 
( A  =/=  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  ->  A  =  0H )
)
6058, 59sylibr 212 1  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  \/  A  =  0H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794    C_ wss 3461   {csn 4014   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500    / cdiv 10213   ~Hchil 25814    .h csm 25816   0hc0v 25819   SHcsh 25823   CHcch 25824   _|_cort 25825   0Hc0h 25830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575  ax-hilex 25894  ax-hfvadd 25895  ax-hvcom 25896  ax-hvass 25897  ax-hv0cl 25898  ax-hvaddid 25899  ax-hfvmul 25900  ax-hvmulid 25901  ax-hvmulass 25902  ax-hvdistr1 25903  ax-hvdistr2 25904  ax-hvmul0 25905  ax-hfi 25974  ax-his1 25977  ax-his2 25978  ax-his3 25979  ax-his4 25980  ax-hcompl 26097
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-lm 19708  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cfil 21672  df-cau 21673  df-cmet 21674  df-grpo 25171  df-gid 25172  df-ginv 25173  df-gdiv 25174  df-ablo 25262  df-subgo 25282  df-vc 25417  df-nv 25463  df-va 25466  df-ba 25467  df-sm 25468  df-0v 25469  df-vs 25470  df-nmcv 25471  df-ims 25472  df-dip 25589  df-ssp 25613  df-ph 25706  df-cbn 25757  df-hnorm 25863  df-hba 25864  df-hvsub 25866  df-hlim 25867  df-hcau 25868  df-sh 26102  df-ch 26117  df-oc 26148  df-ch0 26149
This theorem is referenced by:  h1datom  26478
  Copyright terms: Public domain W3C validator