Theorem h1datomi 25006

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	|- A e. CH
h1datom.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	|- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 |- A e. CH
2	1	chne0i 24878	. . . . . . 7 |- ( A =/= 0H <-> E. x e. A x =/= 0h )
3		ssel 3371	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. ~H
5	4	h1de2ci 24981	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> E. y e. CC x = ( y .h B ) )
6		oveq1 6119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = ( 0 .h B ) )
7		ax-hvmul0 24434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ~H -> ( 0 .h B ) = 0h )
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 .h B ) = 0h
9	6, 8	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = 0h )
10		eqeq1 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x = 0h <-> ( y .h B ) = 0h ) )
11	9, 10	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y .h B ) -> ( y = 0 -> x = 0h ) )
12	11	necon3d 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
13	12	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
14		reccl 10022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. CC )
15	1	chshii 24652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- A e. SH
16		shmulcl 24642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. SH /\ ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
17	15, 16	mp3an1 1301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
18	17	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
19	14, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
21		oveq2 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y .h B ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
22		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> y e. CC )
23		ax-hvmulass 24431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
24	4, 23	mp3an3 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
25	14, 22, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
26		recid2 10030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) x. y ) = 1 )
27	26	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( 1 .h B ) )
28	25, 27	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = ( 1 .h B ) )
29		ax-hvmulid 24430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ~H -> ( 1 .h B ) = B )
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 .h B ) = B
31	28, 30	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = B )
32	21, 31	sylan9eqr 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = B )
33	32	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( ( 1 / y ) .h x ) e. A <-> B e. A ) )
34	20, 33	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> B e. A ) )
35	34	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( y =/= 0 -> ( x = ( y .h B ) -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
36	35	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
37	36	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
38	13, 37	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
39	38	com3r 79	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
40	39	expd 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) ) )
41	40	rexlimdv 2861	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( E. y e. CC x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
42	5, 41	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
43	3, 42	sylcom 29	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
44	43	rexlimdv 2861	. . . . . . 7 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( E. x e. A x =/= 0h -> B e. A ) )
45	2, 44	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> B e. A ) )
46		snssi 4038	. . . . . . . 8 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
47		snssi 4038	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ~H -> { B } C_ ~H )
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { B } C_ ~H
49	1	chssii 24656	. . . . . . . . 9 |- A C_ ~H
50	48, 49	occon2i 24714	. . . . . . . 8 |- ( { B } C_ A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
51	46, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
52	1	ococi 24830	. . . . . . 7 |- ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) = A
53	51, 52	syl6sseq 3423	. . . . . 6 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A )
54	45, 53	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
55	54	anc2li 557	. . . 4 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) ) )
56		eqss 3392	. . . 4 |- ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
57	55, 56	syl6ibr 227	. . 3 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
58	57	necon1d 2704	. 2 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
59		neor 2717	. 2 |- ( ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) <-> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
60	58, 59	sylibr 212	1 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   E.wrex 2737   C_ wss 3349   {csn 3898   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304   x. cmul 9308   / cdiv 10014   ~Hchil 24343   .h csm 24345   0hc0v 24348   SHcsh 24352   CHcch 24353   _|_cort 24354   0Hc0h 24359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his2 24507  ax-his3 24508  ax-his4 24509  ax-hcompl 24626

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-lm 18855  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cfil 20788  df-cau 20789  df-cmet 20790  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-subgo 23811  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-dip 24118  df-ssp 24142  df-ph 24235  df-cbn 24286  df-hnorm 24392  df-hba 24393  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-hcau 24397  df-sh 24631  df-ch 24646  df-oc 24677  df-ch0 24678

This theorem is referenced by:  h1datom  25007