Theorem h1datomi 26203

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	|- A e. CH
h1datom.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	|- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 |- A e. CH
2	1	chne0i 26075	. . . . . . 7 |- ( A =/= 0H <-> E. x e. A x =/= 0h )
3		ssel 3498	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. ~H
5	4	h1de2ci 26178	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> E. y e. CC x = ( y .h B ) )
6		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = ( 0 .h B ) )
7		ax-hvmul0 25631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ~H -> ( 0 .h B ) = 0h )
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 .h B ) = 0h
9	6, 8	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 0 -> ( y .h B ) = 0h )
10		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x = 0h <-> ( y .h B ) = 0h ) )
11	9, 10	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y .h B ) -> ( y = 0 -> x = 0h ) )
12	11	necon3d 2691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
13	12	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> y =/= 0 ) )
14		reccl 10214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. CC )
15	1	chshii 25849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- A e. SH
16		shmulcl 25839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. SH /\ ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
17	15, 16	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A )
18	17	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
19	14, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / y ) .h x ) e. A ) )
21		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y .h B ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
22		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> y e. CC )
23		ax-hvmulass 25628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
24	4, 23	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 1 / y ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
25	14, 22, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) )
26		recid2 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) x. y ) = 1 )
27	26	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / y ) x. y ) .h B ) = ( 1 .h B ) )
28	25, 27	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = ( 1 .h B ) )
29		ax-hvmulid 25627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ~H -> ( 1 .h B ) = B )
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 .h B ) = B
31	28, 30	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 1 / y ) .h ( y .h B ) ) = B )
32	21, 31	sylan9eqr 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( 1 / y ) .h x ) = B )
33	32	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( ( ( 1 / y ) .h x ) e. A <-> B e. A ) )
34	20, 33	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x e. A -> B e. A ) )
35	34	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( y =/= 0 -> ( x = ( y .h B ) -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
36	35	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) ) )
37	36	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( y =/= 0 -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
38	13, 37	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> ( x e. A -> B e. A ) ) )
39	38	com3r 79	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( y e. CC /\ x = ( y .h B ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
40	39	expd 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( y e. CC -> ( x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) ) )
41	40	rexlimdv 2953	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( E. y e. CC x = ( y .h B ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
42	5, 41	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( x e. ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
43	3, 42	sylcom 29	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( x e. A -> ( x =/= 0h -> B e. A ) ) )
44	43	rexlimdv 2953	. . . . . . 7 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( E. x e. A x =/= 0h -> B e. A ) )
45	2, 44	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> B e. A ) )
46		snssi 4171	. . . . . . . 8 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
47		snssi 4171	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ~H -> { B } C_ ~H )
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { B } C_ ~H
49	1	chssii 25853	. . . . . . . . 9 |- A C_ ~H
50	48, 49	occon2i 25911	. . . . . . . 8 |- ( { B } C_ A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
51	46, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )
52	1	ococi 26027	. . . . . . 7 |- ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) = A
53	51, 52	syl6sseq 3550	. . . . . 6 |- ( B e. A -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A )
54	45, 53	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
55	54	anc2li 557	. . . 4 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) ) )
56		eqss 3519	. . . 4 |- ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) <-> ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) /\ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) C_ A ) )
57	55, 56	syl6ibr 227	. . 3 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= 0H -> A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) ) )
58	57	necon1d 2692	. 2 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
59		neor 2791	. 2 |- ( ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) <-> ( A =/= ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> A = 0H ) )
60	58, 59	sylibr 212	1 |- ( A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) -> ( A = ( _|_ ` ( _|_ ` { B } ) ) \/ A = 0H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2815   C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493   x. cmul 9497   / cdiv 10206   ~Hchil 25540   .h csm 25542   0hc0v 25545   SHcsh 25549   CHcch 25550   _|_cort 25551   0Hc0h 25556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875

This theorem is referenced by:  h1datom  26204