HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Unicode version

Theorem h1datomi 26203
Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1  |-  A  e. 
CH
h1datom.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
h1datomi  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  \/  A  =  0H ) )

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
21chne0i 26075 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  0H  <->  E. x  e.  A  x  =/=  0h )
3 ssel 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
~H
54h1de2ci 26178 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  B ) )
6 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0  ->  (
y  .h  B )  =  ( 0  .h  B ) )
7 ax-hvmul0 25631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
0  .h  B )  =  0h )
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  .h  B )  =  0h
96, 8syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0  ->  (
y  .h  B )  =  0h )
10 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
x  =  0h  <->  ( y  .h  B )  =  0h ) )
119, 10syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
y  =  0  ->  x  =  0h )
)
1211necon3d 2691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
x  =/=  0h  ->  y  =/=  0 ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  -> 
( x  =/=  0h  ->  y  =/=  0 ) )
14 reccl 10214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
151chshii 25849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  A  e.  SH
16 shmulcl 25839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  x  e.  A )  ->  ( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A )
1715, 16mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  x  e.  A )  ->  ( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A )
1817ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A ) )
1914, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A ) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( 1  /  y )  .h  x )  e.  A ) )
21 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
( 1  /  y
)  .h  x )  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B
) ) )
22 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
y  e.  CC )
23 ax-hvmulass 25628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
y )  x.  y
)  .h  B )  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B
) ) )
244, 23mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  /  y )  x.  y )  .h  B
)  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B ) ) )
2514, 22, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( ( 1  /  y )  x.  y )  .h  B
)  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B ) ) )
26 recid2 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
y )  x.  y
)  =  1 )
2726oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( ( 1  /  y )  x.  y )  .h  B
)  =  ( 1  .h  B ) )
2825, 27eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
y )  .h  (
y  .h  B ) )  =  ( 1  .h  B ) )
29 ax-hvmulid 25627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
1  .h  B )  =  B )
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  .h  B )  =  B
3128, 30syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
y )  .h  (
y  .h  B ) )  =  B )
3221, 31sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( (
1  /  y )  .h  x )  =  B )
3332eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( (
( 1  /  y
)  .h  x )  e.  A  <->  B  e.  A ) )
3420, 33sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) )
3534exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y  =/=  0  -> 
( x  =  ( y  .h  B )  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) ) )
3635com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  (
x  =  ( y  .h  B )  -> 
( y  =/=  0  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) ) )
3736imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  -> 
( y  =/=  0  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) )
3813, 37syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  -> 
( x  =/=  0h  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) )
3938com3r 79 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( x  =/= 
0h  ->  B  e.  A
) ) )
4039expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  e.  CC  ->  ( x  =  ( y  .h  B )  -> 
( x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) ) )
4140rexlimdv 2953 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  B )  ->  (
x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) )
425, 41syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  -> 
( x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) )
433, 42sylcom 29 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) )
4443rexlimdv 2953 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( E. x  e.  A  x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) )
452, 44syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  B  e.  A ) )
46 snssi 4171 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  { B }  C_  A )
47 snssi 4171 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { B }  C_  ~H
491chssii 25853 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ~H
5048, 49occon2i 25911 . . . . . . . 8  |-  ( { B }  C_  A  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
5146, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
521ococi 26027 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A
5351, 52syl6sseq 3550 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A )
5445, 53syl6 33 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A ) )
5554anc2li 557 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  /\  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A ) ) )
56 eqss 3519 . . . 4  |-  ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  ( A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  /\  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A ) )
5755, 56syl6ibr 227 . . 3  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) ) )
5857necon1d 2692 . 2  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  A  =  0H ) )
59 neor 2791 . 2  |-  ( ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  \/  A  =  0H )  <-> 
( A  =/=  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  ->  A  =  0H )
)
6058, 59sylibr 212 1  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  \/  A  =  0H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    / cdiv 10206   ~Hchil 25540    .h csm 25542   0hc0v 25545   SHcsh 25549   CHcch 25550   _|_cort 25551   0Hc0h 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875
This theorem is referenced by:  h1datom  26204
  Copyright terms: Public domain W3C validator