HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem h1datomi 27227
Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1  |-  A  e. 
CH
h1datom.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
h1datomi  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  \/  A  =  0H ) )

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
21chne0i 27099 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  0H  <->  E. x  e.  A  x  =/=  0h )
3 ssel 3425 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
~H
54h1de2ci 27202 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  B ) )
6 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0  ->  (
y  .h  B )  =  ( 0  .h  B ) )
7 ax-hvmul0 26656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
0  .h  B )  =  0h )
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  .h  B )  =  0h
96, 8syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0  ->  (
y  .h  B )  =  0h )
10 eqeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
x  =  0h  <->  ( y  .h  B )  =  0h ) )
119, 10syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
y  =  0  ->  x  =  0h )
)
1211necon3d 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
x  =/=  0h  ->  y  =/=  0 ) )
1312adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  -> 
( x  =/=  0h  ->  y  =/=  0 ) )
14 reccl 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
151chshii 26873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  A  e.  SH
16 shmulcl 26864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  x  e.  A )  ->  ( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A )
1715, 16mp3an1 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  x  e.  A )  ->  ( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A )
1817ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A ) )
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( 1  / 
y )  .h  x
)  e.  A ) )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( 1  /  y )  .h  x )  e.  A ) )
21 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( y  .h  B )  ->  (
( 1  /  y
)  .h  x )  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B
) ) )
22 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
y  e.  CC )
23 ax-hvmulass 26653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
y )  x.  y
)  .h  B )  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B
) ) )
244, 23mp3an3 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  /  y )  x.  y )  .h  B
)  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B ) ) )
2514, 22, 24syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( ( 1  /  y )  x.  y )  .h  B
)  =  ( ( 1  /  y )  .h  ( y  .h  B ) ) )
26 recid2 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
y )  x.  y
)  =  1 )
2726oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( ( 1  /  y )  x.  y )  .h  B
)  =  ( 1  .h  B ) )
2825, 27eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
y )  .h  (
y  .h  B ) )  =  ( 1  .h  B ) )
29 ax-hvmulid 26652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
1  .h  B )  =  B )
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  .h  B )  =  B
3128, 30syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
y )  .h  (
y  .h  B ) )  =  B )
3221, 31sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( (
1  /  y )  .h  x )  =  B )
3332eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( (
( 1  /  y
)  .h  x )  e.  A  <->  B  e.  A ) )
3420, 33sylibd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) )
3534exp31 608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y  =/=  0  -> 
( x  =  ( y  .h  B )  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) ) )
3635com23 81 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  (
x  =  ( y  .h  B )  -> 
( y  =/=  0  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) ) )
3736imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  -> 
( y  =/=  0  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) )
3813, 37syld 45 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  -> 
( x  =/=  0h  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  A ) ) )
3938com3r 82 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  CC  /\  x  =  ( y  .h  B ) )  ->  ( x  =/= 
0h  ->  B  e.  A
) ) )
4039expd 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  e.  CC  ->  ( x  =  ( y  .h  B )  -> 
( x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) ) )
4140rexlimdv 2876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  B )  ->  (
x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) )
425, 41syl5bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  -> 
( x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) )
433, 42sylcom 30 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) ) )
4443rexlimdv 2876 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( E. x  e.  A  x  =/=  0h  ->  B  e.  A ) )
452, 44syl5bi 221 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  B  e.  A ) )
46 snssi 4115 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  { B }  C_  A )
47 snssi 4115 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { B }  C_  ~H
491chssii 26877 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ~H
5048, 49occon2i 26935 . . . . . . . 8  |-  ( { B }  C_  A  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
5146, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
521ococi 27051 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A
5351, 52syl6sseq 3477 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A )
5445, 53syl6 34 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A ) )
5554anc2li 560 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  /\  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A ) ) )
56 eqss 3446 . . . 4  |-  ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  ( A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  /\  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  C_  A ) )
5755, 56syl6ibr 231 . . 3  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  0H  ->  A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) ) )
5857necon1d 2645 . 2  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =/=  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  A  =  0H ) )
59 neor 2714 . 2  |-  ( ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  \/  A  =  0H )  <-> 
( A  =/=  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  ->  A  =  0H )
)
6058, 59sylibr 216 1  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  ( A  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  \/  A  =  0H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   E.wrex 2737    C_ wss 3403   {csn 3967   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537    x. cmul 9541    / cdiv 10266   ~Hchil 26565    .h csm 26567   0hc0v 26570   SHcsh 26574   CHcch 26575   _|_cort 26576   0Hc0h 26581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731  ax-hcompl 26848
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-lm 20238  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-subgo 26023  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-dip 26330  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498  df-hnorm 26614  df-hba 26615  df-hvsub 26617  df-hlim 26618  df-hcau 26619  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899
This theorem is referenced by:  h1datom  27228
  Copyright terms: Public domain W3C validator