Theorem gsumfsum 19632

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
gsumfsum	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfsum

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
2		mpt0 5934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
3	1, 2	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅)
4	3	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
5		cnfld0 19589	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	5	gsum0 17101	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = 0
7		sum0 14299	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
8	6, 7	eqtr4i 2635	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
9	4, 8	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
10		sumeq1 14267	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11	9, 10	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
13		cnfldbas 19571	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfldadd 19572	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
15		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Cntz‘ℂfld) = (Cntz‘ℂfld)
16		cnring 19587	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringmnd 18379	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ℂfld ∈ Mnd)
19		gsumfsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
21		gsumfsum.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
23	21, 22	fmptd 6292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
25		ringcmn 18404	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
26	16, 25	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ℂfld ∈ CMnd)
27	13, 15, 26, 24	cntzcmnf 18071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ((Cntz‘ℂfld)‘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
28		simprl 790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
29		simprr 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
30		f1of1 6049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1→𝐴)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1→𝐴)
32		suppssdm 7195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
33		fdm 5964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
35	32, 34	syl5sseq 3616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ 𝐴)
36		f1ofo 6057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–onto→𝐴)
37		forn 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(#‘𝐴))–onto→𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
38	29, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ran 𝑓 = 𝐴)
39	35, 38	sseqtr4d 3605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ ran 𝑓)
40		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓) supp 0) = (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓) supp 0)
41	13, 5, 14, 15, 18, 20, 24, 27, 28, 31, 39, 40	gsumval3 18131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
42		sumfc 14287	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
43		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
44	24	ffvelrnda 6267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
45		f1of 6050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
46	29, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
47		fvco3 6185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
48	46, 47	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
49	43, 28, 29, 44, 48	fsum 14298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
50	42, 49	syl5eqr 2658	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
51	41, 50	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	51	expr 641	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
53	52	exlimdv 1848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
54	53	expimpd 627	. 2 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
55		fz1f1o 14288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
56	19, 55	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
57	12, 54, 56	mpjaod 395	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  ...cfz 12197  seqcseq 12663  #chash 12979  Σcsu 14264   Σ_g cgsu 15924  Mndcmnd 17117  Cntzccntz 17571  CMndccmn 18016  Ringcrg 18370  ℂ_fldccnfld 19567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-cnfld 19568

This theorem is referenced by:  regsumfsum  19633  regsumsupp  19787  plypf1  23772  taylpfval  23923  jensen  24515  amgmlem  24516  lgseisenlem4  24903  esumpfinval  29464  esumpfinvalf  29465  esumpcvgval  29467  esumcvg  29475  sge0tsms  39273  aacllem  42356  amgmwlem  42357  amgmlemALT  42358